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  • exercices de Mathématiques pour le Concours de Médecine au Maroc

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    • Exercice 1 : Concours de Médecine au Maroc

      Soit \( f \) la fonction définie par :
      \[ f(x) = \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]
      Déterminer le développement limité de \( f \) à l'ordre 3 au voisinage de 0.

      Solution :

      Le développement limité de \( f \) à l'ordre 3 au voisinage de 0 est :
      \[ f(x) = 2x + \frac{2x^3}{3} + o(x^3) \]


      Exercice 2 : Concours de Médecine en France

      Un patient reçoit une injection d'un médicament dont la concentration dans le sang suit la loi :
      \[ C(t) = C_0 e^{-kt} \]
      où \( C_0 \) est la concentration initiale et \( k \) est la constante d'élimination. Déterminer le temps nécessaire pour que la concentration soit réduite de moitié.

      Solution :

      Le temps nécessaire pour que la concentration soit réduite de moitié est donné par :
      \[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \]

      Exercice 3 : Concours de Médecine au Maroc

      Soit \( (u_n) \) une suite définie par :
      \[ u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{1}{u_n} \]
      avec \( u_0 = 1 \). Montrer que la suite \( (u_n) \) converge et déterminer sa limite.

      Solution :

      La suite \( (u_n) \) converge vers \( \sqrt{2} \).

      Exercice 4 : Concours de Médecine en France

      Un laboratoire étudie la croissance d'une population de bactéries. Le nombre de bactéries \( N(t) \) à l'instant \( t \) (en heures) est donné par :
      \[ N(t) = N_0 e^{rt} \]
      où \( N_0 \) est le nombre initial de bactéries et \( r \) est le taux de croissance. Si le nombre de bactéries double toutes les 3 heures, déterminer la valeur de \( r \).

      Solution :

      La valeur de \( r \) est :
      \[ r = \frac{\ln(2)}{3} \]

  • QCM1


    • Calculer la limite suivante :
      \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \]

    • \[
      \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
      \]

  • QCM2

    • Exercice 2 : Dérivées
      Soit \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \). Calculer \( f'(x) \).

    • \[
      f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
      \]

  • QCM3

    • Intégrales
      Calculer l'intégrale suivante :
      \[ \int_{0}^{1} x^2 \, dx \]

    • \[
      \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}
      \]

  • QCM4

    •  Probabilités
      On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

    • La probabilité d'obtenir un nombre pair avec un dé à 6 faces est :
      \[
      \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
      \]

  • QCM5

    • Suites
      Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_{n+1} = 2u_n + 1 \) et \( u_0 = 1 \). Calculer \( u_3 \).

    • \[
      u_0 = 1, \quad u_1 = 2u_0 + 1 = 3, \quad u_2 = 2u_1 + 1 = 7, \quad u_3 = 2u_2 + 1 = 15
      \]

  • QCM6

    • Fonctions
      Soit \( f(x) = \ln(x) \). Déterminer l'ensemble de définition de \( f \).

    • La fonction \( f(x) = \ln(x) \) est définie pour \( x > 0 \).

  • QCM7

    • Équations différentielles
      Résoudre l'équation différentielle :
      \[ y' + y = 0 \]

    • La solution de \( y' + y = 0 \) est :
      \[
      y(x) = Ce^{-x}
      \]

  • QCM8

    • Géométrie
      Calculer l'aire d'un triangle de base 5 cm et de hauteur 10 cm.

    • L'aire du triangle est :
      \[
      \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25 \text{ cm}^2
      \]

  • QCM9

    •  Limites
      Calculer la limite suivante :
      \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 + 2} \]

    • \[
      \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 + 2} = 0
      \]

  • QCM10

    • Dérivées
      Soit \( f(x) = e^{2x} \). Calculer \( f''(x) \).

    • \[
      f(x) = e^{2x} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2e^{2x}, \quad f''(x) = 4e^{2x}
      \]

  • QCM11

    • Intégrales
      Calculer l'intégrale suivante :
      \[ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \]

    • \[
      \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1
      \]

  • QCM12

    • Probabilités
      On tire deux cartes d'un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité que les deux cartes soient des rois ?

    • La probabilité de tirer deux rois est :
      \[
      \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{221}
      \]

  • QCM13

    • Suites
      Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = 3n + 2 \). Calculer \( u_{10} \).

    • \[
      u_n = 3n + 2 \quad \Rightarrow \quad u_{10} = 3 \times 10 + 2 = 32
      \]

  • QCM14

    • Fonctions
      Soit \( f(x) = \sqrt{x} \). Déterminer l'ensemble de définition de \( f \).

    • La fonction \( f(x) = \sqrt{x} \) est définie pour \( x \geq 0 \).

  • QCM15

    • Équations différentielles
      Résoudre l'équation différentielle :
      \[ y'' + y = 0 \]

    • La solution de \( y'' + y = 0 \) est :
      \[
      y(x) = A\cos(x) + B\sin(x)
      \]

  • QCM16

    • Géométrie
      Calculer le volume d'une sphère de rayon 3 cm.

    • Le volume de la sphère est :
      \[
      \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \times 3^3 = 36\pi \text{ cm}^3
      \]

  • QCM17

    • Limites
      Calculer la limite suivante :
      \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \]

    • \[
      \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2
      \]

  • QCM18

    • Dérivées
      Soit \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). Calculer \( f'(x) \).

    • \[
      f(x) = \ln(x^2 + 1) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}
      \]

  • QCM19

    • Intégrales
      Calculer l'intégrale suivante :
      \[ \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx \]

    • \[
      \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = \left[ -\cos(x) \right]_0^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2
      \]

  • QCM20

    • Probabilités
      On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 7 ?

    • La probabilité que la somme des deux dés soit 7 est :
      \[
      \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
      \]

  • QCM21

    • Suites
      Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = \frac{1}{n} \). Calculer \( u_{100} \).

    • \[
      u_n = \frac{1}{n} \quad \Rightarrow \quad u_{100} = \frac{1}{100}
      \]

  • QCM22

    • Fonctions
      Soit \( f(x) = \frac{1}{x} \). Déterminer l'ensemble de définition de \( f \).

    • La fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est définie pour \( x \neq 0 \).

  • QCM23

    • Équations différentielles
      Résoudre l'équation différentielle :
      \[ y' = 2y \]

    • La solution de \( y' = 2y \) est :
      \[
      y(x) = Ce^{2x}
      \]

  • QCM24

    • Géométrie
      Calculer l'aire d'un cercle de rayon 4 cm.

    • \[
      \pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \text{ cm}^2
      \]

  • QCM25

    • Limites
      Calculer la limite suivante :
      \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]

    • \[
      \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
      \]

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