\[ \boxed{Mathématiques - Certificat du Cycle Collégial : Saison 2019} \]

Exercice 1 : 
(1) Résoudre les équations suivantes : 
3x - 2 = 7 + 5x 
 x^2 - 4 + (2x + 5)(x + 2) = 0 
(2) Résoudre les inéquations suivantes : 
 8x - 1 ≥ 3 + 5x 
(2x - 1)/3 ≤ 5/3

- Système d'équations :
\[
\left\{\begin{array}{l}
2x + y = 30 \\
x + y = 25
\end{array}
\right.
\]

Problème :

Un employé reçoit un salaire mensuel de 3000 dirhams dans une enveloppe contenant 25 billets de banque de deux types : 200 dirhams et 25 dirhams. 
Déterminez le nombre de billets de chaque type dans l'enveloppe.

Exercice 2 : 

(1) Construire les points F et G, images respectives de A et B par la translation t qui transforme le point E en O. 
(2) Déterminer, en justifiant, la mesure de l'angle FOĜ. 
(3) Montrer que l'image du cercle gamma par la translation t est le cercle circonscrit au triangle FOG. 

Exercice 3 : 

(1) Déterminer la valeur médiane de cette série statistique. 
(2) Calculer la moyenne arithmétique de cette série statistique. 
(3) Déterminer le pourcentage des élèves qui ont réalisé au plus deux séances supplémentaires. 

Exercice 4:

1) Soit f une fonction affine et (Δ) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O, I, J). 
Le point K(1,3) appartient à la représentation graphique (Δ).

   - Montrer que l'expression de la fonction affine f est f(x) = 2x + 1.
   - Calculer l'ordonnée du point A d'abscisse x = -2 sur (Δ).
   - Construire la représentation graphique (Δ) de la fonction f.

2) On considère la fonction linéaire g définie par g(x) = -1/2 x, dont la représentation graphique est dans le repère (O, I, J).

   - Calculer l'image de 4 par la fonction g.
   - Déterminer le nombre dont l'image est 1 par la fonction linéaire g.

3) Les droites (Δ) et (Δ') sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Exercice 5 :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J), on considère le point A(1,1) et la droite (D) de coefficient directeur 3 passant par A.

   - Déterminer l'équation réduite de la droite (D).
   - Vérifier que le point B(3,7) appartient à la droite (D).
   - Calculer la distance AB.
   - Déterminer les coordonnées du point M, milieu du segment [AB].
   - Montrer que l'équation de la droite (Δ) passant par le point N(-1,1) et perpendiculaire à (D) est : 
    y = -1/3 x + 2/3.
   - Soit H le projeté orthogonal du point N sur la droite (D). Déterminer les coordonnées de H.

Solutions - Mathématiques : Certificat du Cycle Collégial - Saison 2019}}

Exercice 1:

(1) Résolution des équations 

Équation 1 :
\[
3x - 2 = 7 + 5x
\]
\begin{align*}
3x - 2 - 5x &= 7 \\
-2x - 2 &= 7 \\
-2x &= 9 \\
x &= -4.5
\end{align*}

Équation 2 : 
\[
x^2 - 4 + (2x + 5)(x + 2) = 0
\]
Développement :
\[
(2x + 5)(x + 2) = 2x^2 + 4x + 5x + 10 = 2x^2 + 9x + 10
\]
Donc :
\[
x^2 - 4 + 2x^2 + 9x + 10 = 0
\Rightarrow 3x^2 + 9x + 6 = 0
\]
Divisons par 3 :
\[
x^2 + 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x + 1)(x + 2) = 0
\]
Solutions :
\[
x = -1 \quad \text{ou} \quad x = -2
\]

(2) Résolution des inéquations

Inéquation 1 :
\[
8x - 1 \geq 3 + 5x
\]
\begin{align*}
8x - 5x &\geq 3 + 1 \\
3x &\geq 4 \\
x &\geq \dfrac{4}{3}
\end{align*}

Inéquation 2 : 
\[
\dfrac{2x - 1}{3} \leq \dfrac{5}{3}
\Rightarrow 2x - 1 \leq 5 \\
\Rightarrow 2x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3
\]

(3) Système d'équations

\[
\begin{cases}
2x + y = 30 \\
x + y = 25
\end{cases}
\]

Soustrayons :
\[
(2x + y) - (x + y) = 30 - 25 \Rightarrow x = 5
\]
Remplaçons dans \( x + y = 25 \) :
\[
5 + y = 25 \Rightarrow y = 20
\]
Solution :  \( x = 5, y = 20 \)

Problème}

Soit \( x \) le nombre de billets de 200 dhs, \( y \) le nombre de billets de 25 dhs.

Équations :
\[
x + y = 25 \\
200x + 25y = 3000
\]
Divisons la 2e équation par 25 :
\[
8x + y = 120
\]
Soustrayons :
\[
(8x + y) - (x + y) = 120 - 25 \Rightarrow 7x = 95 \Rightarrow x = 13.57 \quad \text{❌ pas entier}
\]

Essayons avec 100 dhs et 25 dhs :
\[
100x + 25y = 3000 \Rightarrow 4x + y = 120
\]
Avec \( x + y = 25 \), soustraction :
\[
(4x + y) - (x + y) = 120 - 25 \Rightarrow 3x = 95 \Rightarrow x = 31.66 \quad \text{❌}
\]

Conclusion : L’énoncé est incohérent, pas de solution entière possible. Il faut modifier les données (par exemple : billets de 100 dhs et 50 dhs.

Exercice 2:

F et G sont les images de A et B par la translation \( t \).

Si \( t \) transforme E en O, alors :
\[
t(A) = F = A + (O - E), \quad \text{et pareil pour } G
\]

L’angle \( \widehat{FOG} \) est égal à l’angle \( \widehat{AOB} \), car translation conserve les angles.

La translation conserve les cercles : donc le cercle image de \( \gamma \) est le cercle circonscrit au triangle FOG.

Exercice 3:

Pour trouver la médiane, on a besoin des données (effectifs cumulés).

Moyenne arithmétique :
\[
\bar{x} = \dfrac{\sum x_i \cdot f_i}{\sum f_i}
\]

Pourcentage de ceux qui ont fait au plus 2 séances :
\[
\% = \dfrac{f_0 + f_1 + f_2}{\text{total}} \times 100
\]

Exercice 4:

La fonction \( f \) est affine. \( K(1,3) \in \text{courbe de } f \)

Supposons : \( f(x) = ax + b \)

\[
f(1) = 3 \Rightarrow a + b = 3
\]
Si \( f(0) = 1 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow f(x) = 2x + 1 \)

\[
f(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3
\]

Représentation graphique à faire.

Soit \( g(x) = -\dfrac{1}{2}x \)

\[
g(4) = -2, \quad g(x) = 1 \Rightarrow x = -2
\]

Les pentes de \( f \) et \( g \) sont 2 et -1/2, donc les droites sont ni parallèles ni confondues.

Exercice 5:

La droite \( (D) \) passe par \( A(1,1) \) et a un coefficient directeur 3 :
\[
y = 3x + b
\Rightarrow 1 = 3(1) + b \Rightarrow b = -2 \Rightarrow y = 3x - 2
\]

Vérification :  B(3,7) ∈ (D) :
\[
y = 3(3) - 2 = 9 - 2 = 7 \quad \text{✅}
\]

Distance AB :
\[
AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \approx 6.32
\]

Milieu \( M \) :
\[
x = \dfrac{1 + 3}{2} = 2, \quad y = \dfrac{1 + 7}{2} = 4 \Rightarrow M(2,4)
\]

Droite \( \Delta \) passant par \( N(-1,1) \), perpendiculaire à (D). Pente = \( -\dfrac{1}{3} \)

\[
y = -\dfrac{1}{3}x + b \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{3} + b \Rightarrow b = \dfrac{2}{3}
\Rightarrow y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}
\]

Trouvons \( H \), projeté orthogonal de \( N \) sur (D), intersection de :
\[
y = 3x - 2 \quad \text{et} \quad y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}
\]

\begin{align*}
3x - 2 &= -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3} \\
3x + \dfrac{1}{3}x &= 2 + \dfrac{2}{3} \\
\dfrac{10x}{3} &= \dfrac{8}{3} \Rightarrow x = 0.8 \\
y &= 3(0.8) - 2 = 2.4 - 2 = 0.4
\end{align*}

Coordonnées de H :  (0.8,\ 0.4)