Examan 9 eme classe
Section outline
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\[ \boxed{Mathématiques - Certificat du Cycle Collégial : Saison 2022} \]
Exercice 1 :
-Résoudre les deux équations suivantes :
-\(2(3x + 5) = 4x + 12\)
-\(4(2x - 3) + x(2x - 3) = 0\)
-Résoudre l’inéquation suivante puis représenter ses solutions sur une droite graduée : \(3x + 1 \geq x - 5\).
-Résoudre algébriquement le système suivant :
\[
\begin{cases}
x + y = 100 \\
2x + 3y = 220
\end{cases}
\]
-Dans le cadre de la lutte contre la pandémie corona virus, une entreprise a acheté 100 doses de deux types AstraZeneneca et Pfizer, pour vacciner ses employés au prix 8800 Dhs. Sachant que le prix d’une dose d’AstraZeneneca est 80 Dhs, et le prix d’une dose de Pfizer est 120 Dhs. Quel est le nombre de doses de chaque type ?
Exercice 2 :
Dans un quartier, on a effectué une enquête sur le nombre d’enfants par famille.
On donne les résultats obtenus dans le tableau ci-dessous :Nombre d’enfants 0 1 2 3 Nombre de familles 10 6 12 8 Effectif cumulé
-Quel est le mode de cette série statistique ?
-Recopier et compléter le tableau.
-Déterminer la médiane de cette série statistique.
-Calculer la moyenne de cette série statistique.
Exercice 3 :
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \((O ; I ; J)\), on considère les points : \(A(2; -3), B(-1; 3)\) et \(C(2; 5)\).
-Déterminer les coordonnées du vecteur \(AB\).
-Calculer la distance \(AB\).
-Montrer que le point \(M\left(\frac{1}{2}; 4\right)\) est le milieu du segment \([BC]\).
-Montrer que l’équation réduite de la droite \((AB)\) est : \(y = -2x + 1\).
-Soit (A) la droite d’équation réduite : \(y = \frac{1}{2}x + 4\).
Vérifier que les droites \((AB)\) et (A) sont perpendiculaires.
-Déterminer l’équation réduite de la droite \((A^*) \) parallèle à \((AB)\) et passant par le point \(C(2; 5)\).
Exercice 4 :
Soit \( ABC \) un triangle. \( I \) est le milieu du segment \([BC]\). On considère la translation \( t \) qui transforme le point \( B \) en \( I \).
-Construire le point \( E \) image du point \( A \) par la translation \( t \).-Soit le point \( F \) tel que \( 2\overrightarrow{BF} - 3\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0} \). \\
Montrer que le point \( F \) est image du point \( C \) par la translation \( t \).-En déduire que les droites \( (EF) \) et \( (AC) \) sont parallèles.
Exercice 5 :
-Soit \( f \) la fonction linéaire définie par \( f(x) = -\frac{3}{2}x \).
-Calculer l’image de 2 par la fonction \( f \).
-Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; I ; J), tracer la droite \( (\Delta) \) la représentation graphique de la fonction \( f \).-Soit \( g \) la fonction affine telle que \( g(x) = \frac{1}{2}x + b \) et \( g(2) = 5 \).
-Montrer que l’expression de la fonction \( g \) est : \( g(x) = \frac{1}{2}x + 4 \).
-Déterminer le nombre dont l’image est 3 par la fonction \( g \).
-Dans le même repère (O ; I ; J), tracer \( (D) \) la représentation graphique de la fonction \( g \).
-Le point \( H(12 ; 10) \) appartient-il à la droite \( (D) \)? Justifier.
Exercice 6 :
\( SABCD \) est une pyramide de base le rectangle \( ABCD \) et de hauteur \([SA]\) telle que : \( AB = 12 \, \text{cm} \), \( BC = 5 \, \text{cm} \) et \( SA = 18 \, \text{cm} \). (Voir figure ci-contre)
-Montrer que \( AC = 13 \, \text{cm} \).
-Montrer que le triangle \( SAC \) est rectangle en \( A \).
-En déduire la longueur \( SC \).-Calculer \( V \) le volume de la pyramide \( SABCD \).
-La pyramide \( SOMN \) est une réduction de la pyramide \( SABC \) de rapport \( k = \frac{3}{5} \). \\
Calculer l’aire du triangle \( OMN \), la base de la pyramide \( SOMN \).
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\[ \boxed{Mathématiques - Certificat du Cycle Collégial : Saison 2021} \]
Exercice 1 :
1) Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation :
\[ 2x + 5 = 3x - 1 \]
\[ (4 - 2x)(3x + 2) = 0 \]2) Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'inéquation :
\[ 5x + 1 \leq 7 - x \]3) Considérons l'inéquation :
- Déterminer la longueur de l'inéquation dans l'ensemble des nombres réels.
- Déterminer la longueur de l'inéquation dans l'ensemble des nombres entiers naturels.
- Le périmètre d'un triangle est égal à 16 centimètres, et les longueurs de ses côtés sont :
\[ x + 1, \quad y + 2x + 3 \]
- Déterminer la longueur de chaque côté du triangle.
Exercice 2 :
1) Résoudre algébriquement le système :
\[
\begin{cases}
2a + 9 = 7b \\
3b - a - 1 = 0
\end{cases}
\]
où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels.2) Dans un petit village, on observe que :
- Le triple du nombre d'hommes non vaccinés dépasse le nombre de femmes non vaccinées d'une personne.
- Le septuple du nombre d'hommes non vaccinés dépasse le double du nombre de femmes non vaccinées de 9 personnes.
Déterminer la somme du nombre d'hommes et de femmes non vaccinés dans ce village.3) Dans le plan muni d'un repère orthonormé, considérons les droites :
\[ (D): y = -x + 2 \]
\[ (A): y = 2x - 1 \]
et
\[ (D): y = 2x - 1 \]a) Tracer les droites (D) et (A) et déterminer graphiquement les coordonnées du point A, leur point d'intersection.
b) Vérifier que les coordonnées du point A sont solution du système :
\[
\begin{cases}
x + y = 2 \\
2x - y = 1
\end{cases}
\]
Exercice 3 :1) Soit un triangle et \( t \) la translation qui transforme le point B en point A, et I le milieu du segment [AC].
\[ AD = BC \]a) Construire le point D, image du point C par la translation \( t \), puis montrer que :
\[ [BD] = BD \]b) Montrer que :
\[ I = CB \]c) Soit le point E tel que :
\[ IE = CD \]
Déterminer l'image du triangle BC par la translation \( t \).
Exercice 4:
Dans le plan muni d'un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) (on considère les points \( A \), \( B \) et \( C \) représentés dans la figure ci-contre), et soit \( I \) le milieu du segment \( [BC] \).
- Vérifiez que les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) sont \( (2; 2) \)
et que les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{BC} \) sont \( (-4; 4) \).
Montrez ensuite que :
\[
AB = BI
\]
- Montrez que :
\[
y = -x + 4
\]
- Montrez que les droites \( (AB) \) et \( (BC) \) sont perpendiculaires.
- Montrez que \( OABI \) est un carré.
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Exercice 1 :
- Resoudre l'equation suivante : \( 8x + 6 = 5x \)
- Verifier que pour tout nombre reel \( x \), on a :
\[ 3x(x-1)-(x^2-1)=(x-1)(2x-1) \]- En deduire les solutions de l'equation :
\[ 3x(x-1)-(x^2-1)=0 \]- Resoudre l'inequation : \( 7x+1 > 2x-4 \) et representer ses solutions sur une droite graduee.
Exercice 2 :
- Resoudre le systeme suivant :
\[
\begin{cases}
2x+3y=32 \\
3x+2y=28
\end{cases}
\]- Chez un vendeur de fruits, Jamal achete 2kg d'oranges et 3kg de pommes en payant 32 dirhams ; tandis que Fatima achete 6kg d'oranges et 4kg de pommes en payant 56 dirhams. Determiner le prix, en dirhams, d'un kilogramme d'oranges et le prix d'un kilogramme de pommes.
Exercice 3 :
Le tableau ci-dessous donne le nombre d'heures qu'un groupe de 50 eleves du cycle secondaire collegial passent devant leurs smartphones pendant une periode d'un mois.
Nombre d'heures 10 14 20 30 35 Effectif 5 15 12 16 2 Effectif cumulé
- Recopier et completer le tableau ci-dessus.
- Determiner la mediane de cette serie statistique.
- Calculer le nombre moyen d'heures que ces eleves passent devant leurs smartphones.
Exercice 4 :
Soient \( ABC \) un triangle et \( I \) le milieu du segment \([BC]\).
Soit \( t \) la translation qui transforme \( A \) en \( B \).
- Construire les points \( J \) et \( E \) images respectives des points \( I \) et \( B \) par la translation \( t \).
- Determiner la nature du quadrilatere \( IBEJ \). Justifier la reponse.
Exercice 5 :
Dans le plan muni d'un repere orthonorme \((O,I,J)\), soient les points \( A(-2;-2) \), \( B(4;1) \) et \( C(-\frac{1}{2}; \frac{5}{2}) \).
- Determiner le couple de coordonnees du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) et verifier que \[ AB = 3\sqrt{5} \].
- Verifier que le point \( E(1;-\frac{1}{2}) \) est le milieu du segment \([AB]\).- Montrer que l'equation reduite de la droite \((AB)\) est :
\[ y = \frac{1}{2}x - 1 \]
- Determiner le coefficient directeur de la droite \((EC)\).
- En deduire que la droite \((EC)\) est la mediatrice du segment \([AB]\).
Exercice 6 :
Dans le plan rapporte a un repere orthonorme \((O, I, J)\), on considere les deux droites \((D)\) et \((D')\) telles que \((D)\) est la representation graphique d'une fonction lineaire \(f\) (voir figure ci-dessous).
- Determiner graphiquement \(f(-1)\)
- En deduire que \(f(x) = 2x\)
- Determiner le nombre dont l'image par \(f\) est 4- Soit \(g\) la fonction affine definie par :
\[ g(x) = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3} \]
- Montrer que la representation graphique de la fonction \(g\) passe par les points \(A(1; 2)\) et \(B(-2; 1)\)
- En deduire que \((D')\) est la representation graphique de \(g\)
- Resoudre graphiquement l'equation \(f(x) = g(x)\)
Exercice 7 :
Dans la figure ci-dessous, \(ABCDEFGH\) est un parallelepipede rectangle de dimensions :
\[ AB = 8cm ; AD = 6cm ; AE = 4cm \]
- Calculer \(EG\) puis montrer que \( AG = 2\sqrt{29}\,\text{cm} \)- Montrer que le volume de la pyramide \( AEGH \) est \( 32\,\text{cm}^3 \)
- En effectuant un agrandissement de la pyramide \(AEGH\), on obtient une pyramide de volume \(108\,\text{cm}^3\)
. Determiner le rapport de cet agrandissement.
-
\[ \boxed{Correction} \]
Exercice 1 :
- Resoudre l'equation suivante : \( 8x + 6 = 5x \)
\begin{align*}
8x + 6 &= 5x \\
8x - 5x &= -6 \\
3x &= -6 \\
x &= -2
\end{align*}
Solution :} \(x = -2\)
- Verification de l'egalite :
\[
3x(x-1)-(x^2-1) = (x-1)(2x-1)
\]
\[ 3x(x-1)-(x^2-1) = 3x^2 - 3x - x^2 + 1 = 2x^2 - 3x + 1 \ \]
\[ (x-1)(2x-1) = 2x^2 - x - 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1 \]
Donc, l'egalite est verifiee.- En deduire les solutions de :
\[
3x(x-1)-(x^2-1)=0
\Rightarrow (x-1)(2x-1) = 0
\]
Solutions :} \(x = 1 \text{ ou } x = \frac{1}{2}\)
- Resoudre l'inequation : } \( 7x + 1 > 2x - 4 \)
\begin{align*}
7x - 2x &> -4 - 1 \\
5x &> -5 \\
x &> -1
\end{align*}
Solution : } \(x > -1\)- sur une droite graduee avec un cercle ouvert en -1 et fleche vers la droite
Exercice 2 :
- Resolution du systeme :
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 32 \\
3x + 2y = 28
\end{cases}
\]
Par la methode de substitution ou combinaison :Multiplication pour eliminer :
\begin{align*}
(1) \times 3 &: 6x + 9y = 96 \\
(2) \times 2 &: 6x + 4y = 56 \\
\text{Soustraction :} & (6x + 9y) - (6x + 4y) = 96 - 56 \\
5y &= 40 \Rightarrow y = 8 \\
\text{Rempla\c{c}ons dans (1) :} & 2x + 3(8) = 32 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4
\end{align*}
Solution : \(x = 4,\ y = 8\)- Probleme des fruits :
\begin{align*}
2o + 3p &= 32
6o + 4p &= 56
\end{align*}
Multiplication de (1) par 2 :
\begin{align*}
4o + 6p &= 64
6o + 4p &= 56
\end{align*}
Soustraction :
\begin{align*}
(6o + 4p) - (4o + 6p) &= 56 - 64 \\
6o + 4p - 4o - 6p &= -8 \\
2o - 2p &= -8 \\
o - p &= -4 \\
p &= o + 4
\end{align*}
Remplacons dans (1) :
\begin{align*}
2o + 3(o + 4) &= 32 \\
2o + 3o + 12 &= 32 \\
5o + 12 &= 32 \\
5o &= 20 \\
o &= 4 \\
p &= 8
\end{align*}
Prix : orange = 4 dh/kg, pomme = 8 dh/kg
Exercice 3 :
Nombre d'heures 10 14 20 30 35 Effectif 5 15 12 16 2 Effectif cumulé 5 20 32 48 50
- Mediane :} 50 \div 2 = 25\textsuperscript{e}me valeur classe 20 \(mediane} = 20\)
- Moyenne :}
\begin{align*}
\bar{x} &= \frac{10 \times 5 + 14 \times 15 + 20 \times 12 + 30 \times 16 + 35 \times 2}{50} \\
&= \frac{50 + 210 + 240 + 480 + 70}{50} = \frac{1050}{50} = 21
\end{align*}
Moyenne : 21 heures
Exercice 4 :
- Translation \( t : A \rightarrow B \)
- \( J = t(I),\ E = t(B) \)
- Quadrilatere \(IBEJ\) a les cotes opposes paralleles et de meme longueur parallelogramme .
Exercice 5 :
-
[label=\alph*)]
- \( \vec{AB} = (6,3),\ AB = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
- \( E = (1, -\frac{1}{2}) \) est bien le milieu : \(E = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{-2+1}{2}\right)\)
- Equation de (AB) :
\begin{align*}
m &= \frac{1 - (-2)}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - 1
\end{align*}
- \( EC = (-\frac{3}{2}, 3) \Rightarrow m = \frac{3}{-3/2} = -2 \)
- \[
m_{AB} \times m_{EC} = \frac{1}{2} \times (-2) = -1 \Rightarrow \text{droites perpendiculaires} \Rightarrow EC \perp AB \Rightarrow EC \text{ est la médiatrice de } [AB]
\]
Exercice 6 :
- \(f(-1) = -2 \Rightarrow f(x) = 2x\)
- \(f(x) = 4 \Rightarrow x = 2\)
- \(g(x) = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}\)
- \(x = 1 \Rightarrow g(1) = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 2 \Rightarrow A(1,2) \in g\)
- \(x = -2 \Rightarrow g(-2) = -\frac{2}{3} + \frac{5}{3} = 1 \Rightarrow B(-2,1) \in g\)
Donc (D') est la courbe de g- Equation } \(f(x) = g(x)\)
\begin{align*}
2x &= \frac{1}{3}x + \frac{5}{3} \\
\frac{5}{3} &= \frac{5x}{3} \Rightarrow x = 1
\end{align*}
Solution : \(x = 1\)
Exercice 7:
- \(EG = \sqrt{(8)^2 + (6)^2} = 10\), \(AG = \sqrt{10^2 + 4^2} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}\)
- Volume pyramide : \(V = \frac{1}{3} \times 8 \times 6 \times 4 = 32\,cm^3\)
- \(\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{k}{1}\right)^3 = \frac{108}{32} = \frac{27}{8} \Rightarrow k = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}\)
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Exercice 1 :
Le tableau suivant donne le nombre de villes visitées par un groupe de 40 touristes au Maroc.Nombre de villes 1 2 3 4 5 Nombre de touristes 6 8 11 10 5
- Déterminer le mode de cette série statistique.
- Dresser le tableau des effectifs cumulés.
- En déduire la valeur médiane de cette série statistique.
- Calculer la moyenne arithmétique de cette série statistique.Exercice 2 :
- Résoudre les équations suivantes :
\[ 5x - 11 = -2x + 17 \]
\[ x^2 - 2x = 3(x - 2) \]
- Résoudre l'inéquation suivante :
\[ \frac{2x + 1}{5} \geq \frac{x - 2}{3} + 1 \]
- On considère le système suivant :
\[
\begin{cases}
x - y = 130 \\
2x + 3y = 960
\end{cases}
\]
- Le couple (180; 50) est-il solution de ce système ? Justifier.
- Résoudre le système précédent par la méthode algébrique.
- Ahmed a acheté deux pantalons de même type et trois chemises de même type, il a payé 960 dirhams. Sachant que le prix d'un pantalon coûte 130 dirhams plus que le prix d'une chemise, déterminer le prix d'un pantalon et celui d'une chemise.
Exercice 3 :
Le plan est rapporté au repère orthonormé \[ (O; \vec{i}; \vec{j}) \]
.
- Soit f une fonction linéaire définie par :
\[ f(x) = -\frac{3}{2}x \]
- Quel est le coefficient de f ?
- Calculer l'image de 2 par f .
- Soit g une fonction affine telle que g(5) - g(3) = -4 et A(-1; 3) un point appartenant à la représentation graphique de g .
- Vérifier que :
\[ g(x) = -2x + 1 \]
- Déterminer le nombre dont l'image par g est -11 .3) Soient triangle la représentation graphique de la fonction f et D la représentation graphique de la fonction g .
- Construire triangle et D dans le repère (O; I; J) .
- Résoudre graphiquement l'équation g(x) = f(x) .
Exercice 4 :
ABC est un triangle rectangle et isocèle en A, soient M le milieu du segment [BC] et T la translation qui transforme A en M.
- Construire les points E et F images des points B et C respectivement par la translation T.
- Déterminer la nature du triangle MEF. Justifier votre réponse.
Exercice 5 :
Le plan est rapporté au repère orthonormé (O; I; J) . On considère les points A(1; 1) , B(2; -1) , D(-1; -5) et la droite (L) d'équation :y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}
.
- Placer les points A , B et D .
- Déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} puis en déduire la distance AB .
- Soit C un point tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme, déterminer les coordonnées du point C.
- Vérifier que M\left(\frac{1}{2} \, ; \, -3\right)
est le centre du quadrilatère ABCD.
-
[a)]
- Vérifier que l'équation réduite de la droite (AD) est : y = 3x - 2 .
- Montrer que les droites (AD) et (L) sont perpendiculaires.
Exercice 6 : SABCD est une pyramide régulière, de sommet S, de base carrée ABCD de centre O et de hauteur [SO] tels que SO = 12\,\text{cm} et AB = 6\,\text{cm}.
- Montrer que \[ OA = 3\sqrt{2}\, cm\] puis calculer SA.
- Montrer que le volume de la pyramide SABCD est :
\[ V = 144\,\text{cm}^3 \]
- La pyramide SEFGH est une réduction de SABCD telle que l'aire de EFGH est 4\,\text{cm}^2 .
[a)]
- Montrer que le rapport de cette réduction est : \[ k = \frac{1}{3} .\]
- Calculer V' le volume de la pyramide SEFGH.
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Exercice 1 :
- Soit \( x \) un nombre réel, résoudre l’équation suivante :
\[ 3x + 11 = 2(x + 11) \]
- L’âge d’un père est égal à trois fois l’âge de son fils ; après 11 ans, l’âge du père sera égal à deux fois l’âge du fils. Quel est l’âge du père ? et quel est l’âge du fils ?
- Soit \( x \) un nombre réel, résoudre l’équation suivante :
\[ x(x - 4) = 0 \]
- Soit \( x \) un nombre réel, résoudre l’inéquation suivante :
\[ 3(x - 4) > 5x - (x + 2) \]
- Soit \( x \) et \( y \) deux nombres réels, résoudre le système suivant :
\[
\begin{cases}
3x + y = 7 \\
2x - y = 3
\end{cases}
\]
Exercice 2 :
On considère un parallélogramme \( ABCD \) ; \( M \) le milieu du segment \([AB]\) et \( T \) la translation qui transforme \( D \) en \( M \).
- Construire le point \( E \) l’image du point \( M \) par la translation \( T \).
- Soit \((C)\) le cercle de centre \( M \) passant par le point \( A \) ; déterminer l’image de \((C)\) par la translation \( T \) qui transforme \( D \) en \( M \).
Exercice 3 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O; I, J)\).
- Construire dans le même repère \((O; I, J)\) les points suivants : \( A(-2; 3) \), \( B(2; 1) \) et \( M(0; 2) \).
- Calculer la distance \( AB \) puis montrer que \( M(0; 2) \) est le milieu du segment \([AB]\).
- Montrer que le coefficient directeur (la pente) de la droite \((AB)\) est :
\[ -\frac{1}{2} \]
- Montrer que l’équation réduite de la médiatrice du segment \([AB]\) est :
\[ y = 2x + 2 \]
- Considérons le point \( C(3; 4) \) ; déterminer les coordonnées du point \( D \) pour que le quadrilatère \( ABCD \) soit un parallélogramme.
Exercice 4 :
- Soit \( f \) une fonction linéaire telle que
\[ f(2) = 3 \]
- Déterminer le coefficient de la fonction \( f \) et en déduire que
\[ f(x) = \frac{3}{2}x \]
- Déterminer \( f(-2) \).
- Soit \( g \) la fonction affine telle que
\[ g(x) = -2x + 1 \]
Déterminer \( g(0) \) et le coefficient de \( g \).
- Les représentations graphiques de \( f \) et \( g \) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
- Construire les représentations graphiques de \( f \) et \( g \) dans un repère orthonormé \((O; I, J)\).
Exercice 5 :
\( ABCDEFGH \) est un cube d'arête \( AB = 18\,\text{cm} \).
- Montrer que le volume de la pyramide \( EBCDA \) (de sommet \( E \) et de base \( BCDA \)) est :
\[ 1944\,\text{cm}^3 \]
- Si on réduit la pyramide \( EBCDA \) de rapport \(\frac{1}{3}\), quel est alors le volume de la nouvelle pyramide obtenue ?
Exercice 6 :
Le tableau ci-dessous présente une série statistique des notes de 25 élèves d'un devoir surveillé dans une classe de 3\textsuperscript{e} année collégiale :note 7 8 9 10 11 12 13 14 15 nombre d'élève 1 1 3 5 7 2 3 2 1
- Calculer le mode de cette série statistique.
- Déterminer la médiane de cette série statistique.
- Calculer la moyenne arithmétique de cette série statistique.
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Exercice 1 :
- Résoudre les équations :
\[ 4x - 8 = 0 \]
\[ (x - 3)(3x + 4) + 8(x - 3) = 0 \]
- Résoudre l'inéquation :
\[ 8x - 7 \leq 2x + 5 \]
- Résoudre le système suivant :
\[
\begin{cases}
2x + 5y = 50 \\
4x + y = 28
\end{cases}
\]
- Un libraire vend deux types de cahiers : type A et type B. Il a vendu quatre cahiers de type A et dix cahiers de type B pour un prix total de 100 dirhams, et il a vendu vingt cahiers de type A et cinq cahiers de type B pour un prix total de 140 dirhams.
Sachant que les cahiers de type A ont tous le même prix, et que les cahiers de type B ont tous le même prix, déterminer le prix d'un cahier de type A et le prix d'un cahier de type B.
Exercice 2 :
Le tableau suivant présente le nombre d'infections par le virus Corona enregistrées dans une ville pendant 20 jours d'octobre 2020.Nombre d'infections 3 4 6 10 Nombre de jours 6 . 8 1
- Montrer que l'effectif correspondant au caractère 4 est 5.
- Déterminer le mode de cette série statistique. (Justifier votre réponse)
- Calculer la valeur médiane de cette série statistique.
- Représenter cette série statistique par un diagramme en bâtons.
Exercice 3 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J). On considère les points A(2, 1) ; B(4, 5) et C(-2, 3) et la droite (D) d'équation réduite : \[ y = -\frac{1}{2}x + 2 \]
- Déterminer les coordonnées du vecteur\[ \overrightarrow{AB} \], puis calculer la distance AB.
- Montrer que l'équation réduite de la droite (AB) est : y = 2x - 3.
- En déduire que les droites (D) et (AB) sont perpendiculaires.
- Déterminer les coordonnées du point E milieu du segment [BC].
- Soit F l'image du point A par la translation T qui transforme le point B en point E.
- Recopier la figure ci-contre, puis compléter la par la construction des points E et F.
- Construire, dans le même repère, la droite (A) image de la droite (AB) par la translation T.
Exercice 4 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J).
1) Dans la figure ci-contre, la droite (D) est la représentation graphique d’une fonction linéaire f.
a) Déterminer, graphiquement, l’image de 2 par f.
b) Déterminer, graphiquement, le nombre dont l’image par f est (-4).
c) Montrer que : f(x) = 2x.
2) Soit g la fonction affine définie par : \[ g(x) = \dfrac{1}{3}x + 4 \]
a) Calculer g(3).
b) Déterminer le nombre dont l’image par g est 7.
Exercice 5 :
OBC est un triangle rectangle en O tel que: OB = 2 cm et OC = 4 cm .
AOBC est la pyramide de base le triangle OBC et de hauteur [OA] tel que : OA = 6 cm .
1) a) Montrer que l’aire du triangle OBC est égale à \[ 4 \, \text{cm}^2\]
b) En déduire le volume de la pyramide AOBC.
2) La pyramide AO'B'C' est une réduction de la pyramide AOBC telle que l’aire du triangle O'B'C' soit égale à \[ 1 \, \text{cm}^2 \]
a) Montrer que le coefficient de cette réduction est : \[ k = \dfrac{1}{2}\]
b) En déduire le volume de la pyramide AO'B'C'.
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Exercice 1 :
1) Résoudre l’équation : \( 4x + 1 = -3 \)
2) a) Vérifier que : \((x + 3)(2 - x) = -x^2 - x + 6\)
b) Résoudre l’équation : \(-x^2 - x + 6 = 0\)
3) Résoudre les inéquations : \(7x - 5 \leq 0\) et \(3x - 1 \leq 5x + 7\)
4) Considérons le système suivant :
\[(S)
\begin{cases}
2x - y = 5 \\
x + 3y = 6
\end{cases}\]a) Le couple \((2 ; -1)\) est-il une solution du système \((S)\) ?
b) Résoudre le système \((S)\).
Exercice 2 :
Le tableau suivant présente le nombre d'enfants par famille dans un quartier.
Nombre d’enfants par famille 0 1 2 3 4 Nombre de familles 5 3 2 7 3 1) Donner le nombre total des familles du quartier.
2) Déterminer le mode de cette série statistique.
3) Calculer la moyenne arithmétique de cette série statistique.
Exercice 3 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O,I,J)\).
Considérons les points \(A(0 ; 1)\), \(B(1 ; 4)\) et \(C(3 ; 4)\).1) Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
2) Calculer la distance \(AB\).
3) Calculer les coordonnées du point \(K\), le milieu de \([AB]\).
4) Montrer que l’équation réduite de la droite \((AB)\) est : \(y = 3x + 1\).
5) a) Déterminer l’équation réduite de la droite parallèle à \((AB)\) et passant par \(C\).
b) Montrer que la droite d’équation : \(y = \dfrac{-1}{3}x + 4\) est perpendiculaire à la droite \((AB)\).
6) Déterminer les coordonnées du point \(D\), l’image du point \(C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
7) Déterminer l’image de la droite \((AC)\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
Exercice 4:
1) Soit \( f \) la fonction linéaire définie par : \( f(x) = 3x \).
a) Déterminer le coefficient de la fonction \( f \).
b) Calculer \( f(1) \) et \( f(-2) \).
c) Le point \( E(10; 30) \) appartient-il à la représentation graphique de la fonction \( f \) ?
2) Soit la fonction \( g \) définie par : \( g(x) = -5x + 1 \).
a) Déterminer la nature de la fonction \( g \) et préciser son coefficient.
b) Déterminer le nombre dont l'image par la fonction \( g \) est \(-9\).
Exercice 5 :
\( ABCDEFGH \) est un parallélépipède rectangle tel que :
\( AB = 8\,\text{cm} \), \( BC = 6\,\text{cm} \) et \( AE = 4\,\text{cm} \).
1) Calculer la distance \( AC \).
2) Calculer \( V \) le volume du parallélépipède \( ABCDEFGH \).
3) Après une réduction de rapport : \( k = \dfrac{1}{2} \) du parallélépipède \( ABCDEFGH \), on obtient le parallélépipède \( IJKDMNOP \) (Voir le schéma ci-dessous).
Calculer \( V' \) le volume du parallélépipède \( IJKDMNOP \).
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