Section outline

    • Exercice 1 : 


          - Resoudre l'equation suivante : \( 8x + 6 = 5x \)
              - Verifier que pour tout nombre reel \( x \), on a :
              \[ 3x(x-1)-(x^2-1)=(x-1)(2x-1) \]

              - En deduire les solutions de l'equation :
              \[ 3x(x-1)-(x^2-1)=0 \]

          - Resoudre l'inequation : \( 7x+1 > 2x-4 \) et representer ses solutions sur une droite graduee.


      Exercice 2 :


          - Resoudre le systeme suivant :
          \[
          \begin{cases}  
          2x+3y=32 \\
          3x+2y=28  
          \end{cases}
          \]

          - Chez un vendeur de fruits, Jamal achete 2kg d'oranges et 3kg de pommes en payant 32 dirhams ; tandis que Fatima achete 6kg d'oranges et 4kg de pommes en payant 56 dirhams. Determiner le prix, en dirhams, d'un kilogramme d'oranges et le prix d'un kilogramme de pommes.


      Exercice 3 :

      Le tableau ci-dessous donne le nombre d'heures qu'un groupe de 50 eleves du cycle secondaire collegial passent devant leurs smartphones pendant une periode d'un mois.

      Nombre d'heures 10 14 20 30 35
      Effectif 5 15 12 16 2
      Effectif cumulé          


          - Recopier et completer le tableau ci-dessus.
          - Determiner la mediane de cette serie statistique.
          - Calculer le nombre moyen d'heures que ces eleves passent devant leurs smartphones.


      Exercice 4 :

      Soient \( ABC \) un triangle et \( I \) le milieu du segment \([BC]\).

      Soit \( t \) la translation qui transforme \( A \) en \( B \).


          - Construire les points \( J \) et \( E \) images respectives des points \( I \) et \( B \) par la translation \( t \).
          - Determiner la nature du quadrilatere \( IBEJ \). Justifier la reponse.


      Exercice 5 :

      Dans le plan muni d'un repere orthonorme \((O,I,J)\), soient les points \( A(-2;-2) \), \( B(4;1) \) et \( C(-\frac{1}{2}; \frac{5}{2}) \).



              - Determiner le couple de coordonnees du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) et verifier que \[ AB = 3\sqrt{5} \].
              - Verifier que le point \( E(1;-\frac{1}{2}) \) est le milieu du segment \([AB]\).

          - Montrer que l'equation reduite de la droite \((AB)\) est :
          \[ y = \frac{1}{2}x - 1 \]
              - Determiner le coefficient directeur de la droite \((EC)\).
              - En deduire que la droite \((EC)\) est la mediatrice du segment \([AB]\).
         


       

      Exercice 6 :

      Dans le plan rapporte a un repere orthonorme \((O, I, J)\), on considere les deux droites \((D)\) et \((D')\) telles que \((D)\) est la representation graphique d'une fonction lineaire \(f\) (voir figure ci-dessous).


          - Determiner graphiquement \(f(-1)\)
          - En deduire que \(f(x) = 2x\)
          - Determiner le nombre dont l'image par \(f\) est 4

          - Soit \(g\) la fonction affine definie par :
          \[ g(x) = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3} \]
         
              - Montrer que la representation graphique de la fonction \(g\) passe par les points \(A(1; 2)\) et \(B(-2; 1)\)
              - En deduire que \((D')\) est la representation graphique de \(g\)
         

          - Resoudre graphiquement l'equation \(f(x) = g(x)\)


      Exercice 7 :

      Dans la figure ci-dessous, \(ABCDEFGH\) est un parallelepipede rectangle de dimensions :
      \[ AB = 8cm  ;  AD = 6cm ; AE = 4cm  \]


          - Calculer \(EG\) puis montrer que \( AG = 2\sqrt{29}\,\text{cm} \)

          - Montrer que le volume de la pyramide \( AEGH \) est \( 32\,\text{cm}^3 \)

          - En effectuant un agrandissement de la pyramide \(AEGH\), on obtient une pyramide de volume \(108\,\text{cm}^3\)
      . Determiner le rapport de cet agrandissement.

      Jak

    • \[ \boxed{Correction} \]

      Exercice 1 :


        - Resoudre l'equation suivante :  \( 8x + 6 = 5x \)
        \begin{align*}
          8x + 6 &= 5x \\
          8x - 5x &= -6 \\
          3x &= -6 \\
          x &= -2
        \end{align*}
        Solution :} \(x = -2\)


          - Verification de l'egalite : 
          \[
          3x(x-1)-(x^2-1) = (x-1)(2x-1)
          \]


                \[  3x(x-1)-(x^2-1) = 3x^2 - 3x - x^2 + 1 = 2x^2 - 3x + 1 \  \]
                \[  (x-1)(2x-1) = 2x^2 - x - 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1   \]
       
          Donc, l'egalite est verifiee.

          - En deduire les solutions de : 
          \[
          3x(x-1)-(x^2-1)=0
          \Rightarrow (x-1)(2x-1) = 0
          \]

          Solutions :} \(x = 1 \text{ ou } x = \frac{1}{2}\)
       

        - Resoudre l'inequation : } \( 7x + 1 > 2x - 4 \)
        \begin{align*}
          7x - 2x &> -4 - 1 \\
          5x &> -5 \\
          x &> -1
        \end{align*}
        Solution : } \(x > -1\)

      - sur une droite graduee avec un cercle ouvert en -1 et fleche vers la droite 


      Exercice 2 :


        - Resolution du systeme : 
        \[
        \begin{cases}
          2x + 3y = 32 \\
          3x + 2y = 28
        \end{cases}
        \]

        Par la methode de substitution ou combinaison : 

      Multiplication pour eliminer :
        \begin{align*}
          (1) \times 3 &: 6x + 9y = 96 \\
          (2) \times 2 &: 6x + 4y = 56 \\
          \text{Soustraction :} & (6x + 9y) - (6x + 4y) = 96 - 56 \\
          5y &= 40 \Rightarrow y = 8 \\
          \text{Rempla\c{c}ons dans (1) :} & 2x + 3(8) = 32 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4
        \end{align*}
        Solution :  \(x = 4,\ y = 8\)

        - Probleme des fruits :
        \begin{align*}
          2o + 3p &= 32 
          6o + 4p &= 56
        \end{align*}
      Multiplication de (1) par 2 :
        \begin{align*}
          4o + 6p &= 64 
          6o + 4p &= 56
        \end{align*}
      Soustraction :
        \begin{align*}

      (6o + 4p) - (4o + 6p) &= 56 - 64 \\
      6o + 4p - 4o - 6p &= -8 \\
      2o - 2p &= -8 \\
      o - p &= -4 \\
      p &= o + 4
      \end{align*}

      Remplacons dans (1) : 

       \begin{align*}
      2o + 3(o + 4) &= 32 \\
      2o + 3o + 12 &= 32 \\
      5o + 12 &= 32 \\
      5o &= 20 \\
      o &= 4 \\
      p &= 8
      \end{align*}

        Prix :  orange = 4 dh/kg, pomme = 8 dh/kg


      Exercice 3 :

      Nombre d'heures 10 14 20 30 35
      Effectif 5 15 12 16 2
      Effectif cumulé 5 20 32 48 50


        - Mediane :} 50 \div 2 = 25\textsuperscript{e}me valeur classe 20 \(mediane} = 20\)
        - Moyenne :}
        \begin{align*}
          \bar{x} &= \frac{10 \times 5 + 14 \times 15 + 20 \times 12 + 30 \times 16 + 35 \times 2}{50} \\
          &= \frac{50 + 210 + 240 + 480 + 70}{50} = \frac{1050}{50} = 21
        \end{align*}
        Moyenne : 21 heures


      Exercice 4 :


        - Translation \( t : A \rightarrow B \)
        - \( J = t(I),\ E = t(B) \)
        - Quadrilatere \(IBEJ\) a les cotes opposes paralleles et de meme longueur  parallelogramme .


      Exercice 5 :


        -
        [label=\alph*)]
          - \( \vec{AB} = (6,3),\ AB = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
          - \( E = (1, -\frac{1}{2}) \) est bien le milieu : \(E = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{-2+1}{2}\right)\)
       

        - Equation de (AB)  :
        \begin{align*}
          m &= \frac{1 - (-2)}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - 1
        \end{align*}

       
          - \( EC = (-\frac{3}{2}, 3) \Rightarrow m = \frac{3}{-3/2} = -2 \)
          - \[
      m_{AB} \times m_{EC} = \frac{1}{2} \times (-2) = -1 \Rightarrow \text{droites perpendiculaires} \Rightarrow EC \perp AB \Rightarrow EC \text{ est la médiatrice de } [AB]
      \]


       


      Exercice 6 :


        - \(f(-1) = -2 \Rightarrow f(x) = 2x\)
        - \(f(x) = 4 \Rightarrow x = 2\)
        - \(g(x) = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}\)


          - \(x = 1 \Rightarrow g(1) = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 2 \Rightarrow A(1,2) \in g\)
          - \(x = -2 \Rightarrow g(-2) = -\frac{2}{3} + \frac{5}{3} = 1 \Rightarrow B(-2,1) \in g\)

        Donc  (D')  est la courbe de   g

        - Equation } \(f(x) = g(x)\)
        \begin{align*}
          2x &= \frac{1}{3}x + \frac{5}{3} \\
          \frac{5}{3} &= \frac{5x}{3} \Rightarrow x = 1
        \end{align*}
        Solution :  \(x = 1\)


      Exercice 7: 


        - \(EG = \sqrt{(8)^2 + (6)^2} = 10\), \(AG = \sqrt{10^2 + 4^2} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}\)
        - Volume pyramide : \(V = \frac{1}{3} \times 8 \times 6 \times 4 = 32\,cm^3\)
        - \(\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{k}{1}\right)^3 = \frac{108}{32} = \frac{27}{8} \Rightarrow k = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}\)


      Jak