Exercice 1}
Le tableau suivant donne le nombre de villes visitées par un groupe de 40 touristes au Maroc.
Déterminer le mode :
Le mode est la valeur qui apparaît le plus souvent, c'est donc 3 car 11 touristes ont visité 3 villes.
Tableau des effectifs cumulés :
| Nombre de villes |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| Effectifs |
6 |
8 |
11 |
10 |
5 |
| Effectifs cumulés |
6 |
14 |
25 |
35 |
40 |
Valeur médiane :
La série comprend 40 valeurs. La médiane correspond à la moyenne des 20\textsuperscript{e} et 21\textsuperscript{e} valeurs.
D'après le tableau des effectifs cumulés, la 20{e} et la 21{e} valeur appartiennent à la classe 3 (car 14 < 20 ≤ 25).
Donc, la médiane est 3.
Calcul de la moyenne :
\[
\bar{x} = \frac{1 \times 6 + 2 \times 8 + 3 \times 11 + 4 \times 10 + 5 \times 5}{40}
= \frac{6 + 16 + 33 + 40 + 25}{40}
= \frac{120}{40} = 3
\]
La moyenne est donc 3.
Exercice 2 :
Résolution des équations :
\[
5x - 11 = -2x + 17
\]
\[
5x + 2x = 17 + 11 \Rightarrow 7x = 28 \Rightarrow x = 4
\]
\[
x^2 - 2x = 3(x - 2)
\]
\[
x^2 - 2x = 3x - 6 \Rightarrow x^2 - 2x - 3x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0
\]
\[
(x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2 \quad \text{ou} \quad x = 3
\]
Résolution de l'inéquation :
\[
\frac{2x + 1}{5} \geq \frac{x - 2}{3} + 1
\]
Mettons au même dénominateur ou multiplions par 15 (PPCM de 5 et 3):
\[
3(2x + 1) \geq 5(x - 2) + 15
\]
\[
6x + 3 \geq 5x - 10 + 15
\]
\[
6x + 3 \geq 5x + 5
\]
\[
6x - 5x \geq 5 - 3
\]
\[
x \geq 2
\]
Système :
\[
\begin{cases}
x - y = 130 \\
2x + 3y = 960
\end{cases}
\]
Le couple (180; 50) est-il solution ?
Vérifions dans la première équation :
\[
180 - 50 = 130 \quad \checkmark
\]
Dans la deuxième :
\[
2 \times 180 + 3 \times 50 = 360 + 150 = 510 \neq 960
\]
Donc, non, ce couple n'est pas solution.
Résolution algébrique :
De la première équation :
\[
x = y + 130
\]
Substituons dans la deuxième :
\[
2(y + 130) + 3y = 960 \Rightarrow 2y + 260 + 3y = 960
\]
\[
5y + 260 = 960 \Rightarrow 5y = 700 \Rightarrow y = 140
\]
Puis
\[
x = 140 + 130 = 270
\]
Solution : \( (x; y) = (270; 140) \).
Prix des pantalons et chemises :}
Soit \( o \) le prix d'une chemise et \( p \) celui d'un pantalon.
D'après l'énoncé :
\[
p = o + 130
\]
Ahmed a acheté 2 pantalons et 3 chemises pour 960 dirhams :
\[
2p + 3o = 960
\]
Substituons \( p \) :
\[
2(o + 130) + 3o = 960 \Rightarrow 2o + 260 + 3o = 960
\]
\[
5o + 260 = 960 \Rightarrow 5o = 700 \Rightarrow o = 140
\]
Donc,
\[
p = 140 + 130 = 270
\]
Le prix d'une chemise est 140 dh, celui d'un pantalon est 270 dh.
Exercice 3 :
Le plan est rapporté au repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \).
-Soit \( f \) une fonction linéaire définie par :
\[
f(x) = -\frac{3}{2} x
\]
-Le coefficient de \( f \) est \( -\frac{3}{2} \).
-Calculons l'image de 2 :
\[
f(2) = -\frac{3}{2} \times 2 = -3
\]
-Soit \( g \) une fonction affine telle que :
\[
g(5) - g(3) = -4
\]
et \( A(-1; 3) \) appartient à la représentation graphique de \( g \).
-Calculons le coefficient directeur \( m \) :
\[
m = \frac{g(5) - g(3)}{5 - 3} = \frac{-4}{2} = -2
\]
Écrivons la forme \( g(x) = mx + b \) :
Passons par \( A(-1;3) \) :
\[
3 = -2 \times (-1) + b \Rightarrow 3 = 2 + b \Rightarrow b = 1
\]
Donc,
\[
g(x) = -2x + 1
\]
-Trouvons \( x \) tel que \( g(x) = -11 \) :
\[
-2x + 1 = -11 \Rightarrow -2x = -12 \Rightarrow x = 6
\]
-Soient \( \triangle \) la représentation graphique de \( f \) et \( D \) la représentation graphique de \( g \).
-Construire \( \triangle \) et \( D \) dans le repère \( (O; I; J) \).
-Résoudre graphiquement l'équation
\[
g(x) = f(x)
\]
C'est-à-dire résoudre
\[
-2x + 1 = -\frac{3}{2} x
\]
\[
-2x + 1 = -1.5 x \Rightarrow -2x + 1.5x = -1 \Rightarrow -0.5 x = -1 \Rightarrow x = 2
\]
Valeur exacte : \( x = 2 \).
Exercice 4 :
ABC est un triangle rectangle et isocèle en A. Soient M le milieu du segment \( [BC] \) et \( T \) la translation qui transforme A en M.
-Construire les points \( E \) et \( F \), images de \( B \) et \( C \) respectivement par la translation \( T \).
-Déterminer la nature du triangle \( MEF \).
Justification : Par propriétés de la translation, \( MEF \) est congruent à \( ABC \). Comme \( ABC \) est rectangle isocèle, \( MEF \) est aussi un triangle rectangle isocèle.
Exercice 5 :
Le plan est rapporté au repère orthonormé \( (O; I; J) \). On considère les points
\[
A(1; 1), \quad B(2; -1), \quad D(-1; -5)
\]
et la droite \( (L) \) d'équation
\[
y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}
\]
-Placer les points \( A \), \( B \) et \( D \).
-Déterminer les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) puis calculer la distance \( AB \).
\[
\overrightarrow{AB} = (2 - 1, -1 - 1) = (1, -2)
\]
Distance :
\[
AB = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
\]
-Soit \( C \) tel que \( ABCD \) soit un parallélogramme. Trouvons les coordonnées de \( C \) :
\[
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \Rightarrow C = A + \overrightarrow{BD}
\]
Calculons
\[
\overrightarrow{BD} = D - B = (-1 - 2, -5 - (-1)) = (-3, -4)
\]
Donc,
\[
C = (1,1) + (-3,-4) = (-2, -3)
\]
-Vérifier que
\[
M \left( \frac{1}{2}, -3 \right)
\]
est le centre du quadrilatère \( ABCD \).
Le centre \( M \) du parallélogramme est le milieu des diagonales, donc
\[
M = \frac{A + C}{2} = \left( \frac{1 + (-2)}{2}, \frac{1 + (-3)}{2} \right) = \left( \frac{-1}{2}, -1 \right)
\]
Cela ne correspond pas à \( \left( \frac{1}{2}, -3 \right) \). Essayons avec l'autre diagonale :
\[
M' = \frac{B + D}{2} = \left( \frac{2 + (-1)}{2}, \frac{-1 + (-5)}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, -3 \right)
\]
Donc, \( M = \left( \frac{1}{2}, -3 \right) \) est bien le milieu de \( [BD] \), donc centre du parallélogramme.
-Vérifier que l'équation réduite de la droite \( (AD) \) est
\[
y = 3x - 2
\]
Calcul du coefficient directeur de \( (AD) \):
\[
m = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{-5 - 1}{-1 - 1} = \frac{-6}{-2} = 3
\]
Equation de \( (AD) \) passant par \( A(1,1) \):
\[
y - 1 = 3(x - 1) \Rightarrow y = 3x - 3 + 1 = 3x - 2
\]
-Montrer que \( (AD) \) et \( (L) \) sont perpendiculaires.
Coefficient directeur de \( (L) \) : \( m_L = -\frac{1}{3} \)
Produit des coefficients directeurs :
\[
3 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -1
\]
Les droites sont donc perpendiculaires.
Exercice 6 :
SABCD est une pyramide régulière, de sommet \( S \), de base carrée \( ABCD \) de centre \( O \) et de hauteur \( [SO] \), tels que \( SO = 12\, \text{cm} \) et \( AB = 6\, \text{cm} \).
-Montrer que
\[
OA = 3 \sqrt{2}\, \text{cm}
\]
Le segment \( OA \) est la moitié de la diagonale du carré de côté \( AB = 6\, \text{cm} \).
Diagonale \( AC = AB \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \).
Donc
\[
OA = \frac{AC}{2} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}
\]
-Calculer \( SA \) :
Dans le triangle rectangle \( SAO \), on a :
\[
SA^2 = SO^2 + OA^2 = 12^2 + (3 \sqrt{2})^2 = 144 + 9 \times 2 = 144 + 18 = 162
\]
Donc,
\[
SA = \sqrt{162} = 9 \sqrt{2}
\]
-Montrer que le volume de la pyramide est
\[
V = 144\, \text{cm}^3
\]
Volume pyramide :
\[
V = \frac{1}{3} \times \text{aire base} \times \text{hauteur}
\]
Aire base :
\[
AB^2 = 6^2 = 36
\]
Hauteur : \( SO = 12 \)
Donc,
\[
V = \frac{1}{3} \times 36 \times 12 = \frac{1}{3} \times 432 = 144
\]
-La pyramide \( SEFGH \) est une réduction de \( SABCD \) telle que l'aire de \( EFGH \) est \( 4\, \text{cm}^2 \).
-Montrer que le rapport de réduction est
\[
k = \frac{1}{3}
\]
Le rapport des aires est \( k^2 \) donc
\[
k^2 = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \Rightarrow k = \frac{1}{3}
\]
-Calculer \( V' \), volume de la pyramide \( SEFGH \) :
Le volume varie comme \( k^3 \), donc
\[
V' = k^3 \times V = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times 144 = \frac{1}{27} \times 144 = \frac{144}{27} = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\, \text{cm}^3
\]
