Serie 6

Exercice 1 :

       - Soit \( x \) un nombre réel, résoudre l’équation suivante : 
        \( 3x + 11 = 2(x + 11) \)
        
       - L’âge d’un père est égal à trois fois l’âge de son fils ; après 11 ans, l’âge du père sera égal à deux fois l’âge du fils. Quel est l’âge du père ? et quel est l’âge du fils ?
   
    
   - Soit \( x \) un nombre réel, résoudre l’équation suivante : 
    \( x(x - 4) = 0 \)
    
   - Soit \( x \) un nombre réel, résoudre l’inéquation suivante : 
    \( 3(x - 4) > 5x - (x + 2) \)
    
   - Soit \( x \) et \( y \) deux nombres réels, résoudre le système suivant : 
    \(
    \begin{cases} 
        3x + y = 7 \\ 
        2x - y = 3 
    \end{cases}
    \)

Exercice 2 : 
On considère un parallélogramme \( ABCD \) ; \( M \) le milieu du segment \([AB]\) et \( T \) la translation qui transforme \( D \) en \( M \).

   - Construire le point \( E \) l’image du point \( M \) par la translation \( T \).
    
   - Soit \((C)\) le cercle de centre \( M \) passant par le point \( A \) ; déterminer l’image de \((C)\) par la translation \( T \) qui transforme \( D \) en \( M \).

Exercice 3 : 
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O; I, J)\).

   - Construire dans le même repère \((O; I, J)\) les points suivants : \( A(-2; 3) \), \( B(2; 1) \) et \( M(0; 2) \).
    
   - Calculer la distance \( AB \) puis montrer que \( M(0; 2) \) est le milieu du segment \([AB]\).
    

       - Montrer que le coefficient directeur (la pente) de la droite \((AB)\) est :
        \( -\frac{1}{2} \)
        
       - Montrer que l’équation réduite de la médiatrice du segment \([AB]\) est :
        \( y = 2x + 2 \)
   
    
   - Considérons le point \( C(3; 4) \) ; déterminer les coordonnées du point \( D \) pour que le quadrilatère \( ABCD \) soit un parallélogramme.

Exercice 4 : 

   - Soit \( f \) une fonction linéaire telle que 
    \( f(2) = 3 \)
    
   
       - Déterminer le coefficient de la fonction \( f \) et en déduire que 
        \( f(x) = \frac{3}{2}x \)
        
       - Déterminer \( f(-2) \).
   
    
   - Soit \( g \) la fonction affine telle que 
    \( g(x) = -2x + 1 \)
    
    Déterminer \( g(0) \) et le coefficient de \( g \).
    

       - Les représentations graphiques de \( f \) et \( g \) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
        
       - Construire les représentations graphiques de \( f \) et \( g \) dans un repère orthonormé \((O; I, J)\).
   

Exercice 5 : 
\( ABCDEFGH \) est un cube d'arête \( AB = 18\,\text{cm} \).

   - Montrer que le volume de la pyramide \( EBCDA \) (de sommet \( E \) et de base \( BCDA \)) est :
    \( 1944\,\text{cm}^3 \)
    
   - Si on réduit la pyramide \( EBCDA \) de rapport \(\frac{1}{3}\), quel est alors le volume de la nouvelle pyramide obtenue ?

Exercice 6 : 
Le tableau ci-dessous présente une série statistique des notes de 25 élèves d'un devoir surveillé dans une classe de 3\textsuperscript{e} année collégiale :

   - Calculer le mode de cette série statistique.
    
   - Déterminer la médiane de cette série statistique.
    
   - Calculer la moyenne arithmétique de cette série statistique.

Exercice 1 :

        - Résolvons : 
        \(
        3x + 11 = 2(x + 11)
        \Rightarrow 3x + 11 = 2x + 22
        \Rightarrow 3x - 2x = 22 - 11
        \Rightarrow x = 11
        \)
        
        - Soit \( x \) l’âge du fils. Alors l’âge du père est \( 3x \).  
        Dans 11 ans : fils aura \( x + 11 \), père aura \( 3x + 11 \).  
        On a : 
        \(
        3x + 11 = 2(x + 11)
        \Rightarrow 3x + 11 = 2x + 22
        \Rightarrow x = 11
        \)
        Donc le fils a 11 ans et le père a \( 3 \times 11 = 33 \) ans.
   

    - Résolvons : 
    \(
    x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 4
    \)

    - Résolvons : 
    \(
    3(x - 4) > 5x - (x + 2)
    \Rightarrow 3x - 12 > 5x - x - 2
    \Rightarrow 3x - 12 > 4x - 2
    \Rightarrow -12 + 2 > 4x - 3x
    \Rightarrow -10 > x
    \Rightarrow x < -10
    \)

    - Résolvons le système :
    \(
    \begin{cases}
        3x + y = 7 \\
        2x - y = 3
    \end{cases}
    \)
    Additionnons les deux équations :
    \(
    (3x + y) + (2x - y) = 7 + 3 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2
    \)
    Puis : 
    \(
    3x + y = 7 \Rightarrow 6 + y = 7 \Rightarrow y = 1
    \)
    Solution : \( x = 2 \), \( y = 1 \)

Exercice 2 : 

    - La translation \( T \) transforme \( D \) en \( M \), donc vecteur \( \vec{DM} \).  
    L’image de \( M \) par cette translation est \( E \) tel que : 
    \(
    \vec{ME} = \vec{DM} \Rightarrow E = M + \vec{DM}
    \)

    - L’image du cercle \( (C) \) par \( T \) est un cercle de même rayon, de centre \( E \) et passant par le point image de \( A \) par \( T \).

Exercice 3 : 

    - Points à placer : \( A(-2, 3), B(2, 1), M(0, 2) \)

    - Distance :
    \(
    AB = \sqrt{(2 + 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
    \)
    Milieu de \( AB \) :
    \(
    \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{3 + 1}{2} \right) = (0, 2) = M
    \)

        - Coefficient directeur de \( AB \) :
        \(
        m = \frac{1 - 3}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
        \)

        - La médiatrice est perpendiculaire à \( AB \), donc coefficient directeur inverse et opposé : \( 2 \).  
        Elle passe par \( M(0,2) \), donc équation :
        \(
        y - 2 = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x + 2
        \)
   

    - Si \( ABCD \) est un parallélogramme, alors \( \vec{AB} = \vec{DC} \).  
    \( \vec{AB} = (2 - (-2), 1 - 3) = (4, -2) \)  
    Donc \( \vec{CD} = (4, -2) \Rightarrow D = C + \vec{CD} = (3 + 4, 4 - 2) = (7, 2) \)

Exercice 4 : 

    - \( f \) est linéaire donc \( f(x) = ax \)  
    \(
    f(2) = 3 \Rightarrow a \cdot 2 = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{2}
    \Rightarrow f(x) = \frac{3}{2}x
    \)
    \(
    f(-2) = \frac{3}{2} \times (-2) = -3
    \)

    - \( g(x) = -2x + 1 \)  
    \(
    g(0) = -2 \cdot 0 + 1 = 1
    \)
    Coefficient de \( g \) est \( -2 \)

        - Les droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.  
        \( f \) a un coefficient de \( \frac{3}{2} \), \( g \) a un coefficient de \( -2 \) donc elles ne sont pas parallèles}.
        
        - Tracer les droites dans le repère.  
        Pour \( f \): point A(0,0), B(2,3)  
        Pour \( g \): point C(0,1), D(1,-1)
   

Exercice 5 : 

    - La base \( BCDA \) est un carré de côté 18 cm donc son aire est :
    \(
    A = 18 \times 18 = 324\,\text{cm}^2
    \)
    Hauteur \( EH = 18\,\text{cm} \) car le cube est de côté 18 cm.  
    Le volume est :
    \(
    V = \frac{1}{3} \times 324 \times 18 = \frac{5832}{3} = 1944\,\text{cm}^3
    \)

    - Si le rapport est \( \frac{1}{3} \), alors le volume est multiplié par \( \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27} \)  
    \(
    V' = \frac{1944}{27} = 72\,\text{cm}^3
    \)

Exercice 6 : 

    - Le mode est la note la plus fréquente.  
    La fréquence maximale est 7 élèves pour la note 11.  
    Donc le mode est 11.

    - Médiane : il y a 25 élèves. La médiane est la 13{e} valeur.  
    Cumul des effectifs :
    \(
    1 + 1 + 3 + 5 = 10 \Rightarrow 11{e} à 17{e} note est 11
    \)
    Donc la médiane est 11.

    - Moyenne arithmétique :
    \(
    \text{Moyenne} = \frac{1\times7 + 1\times8 + 3\times9 + 5\times10 + 7\times11 + 2\times12 + 3\times13 + 2\times14 + 1\times15}{25}
    \)
    \(
    = \frac{7 + 8 + 27 + 50 + 77 + 24 + 39 + 28 + 15}{25} = \frac{275}{25} = 11
    \)
    Moyenne = 11}