\title{Mathématiques - Examen 2015}
\date{Session : Janvier \\ Durée : 2 heures}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Académie Régionale}
\textbf{de l'Éducation et de la Formation} \\
\textbf{Région de Fès - Boulmane} \\
\textbf{Délégation : Province de Sefrou}

\vspace{1em}
\section*{Niveau : Troisième année du collège}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 :} (6 points) Calculer les valeurs suivantes :
\begin{enumerate}
    \item A = \sqrt{8 \times \sqrt{4} - 2}
    \item B = \sqrt{8 \times \sqrt{4} - 2}
    \item D = \sqrt{2\sqrt{5} + 2 \times \sqrt{2\sqrt{5} - 2}}
    \item E = 4000 \times 10^6 \times 0{,}00015
    \item N = 5(x - 4) + (x - 4)^2
    \item M = (3x - 1)^2 - 3(2x + 1)
    \item Simplifier M et N
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :} (1 point)
\begin{itemize}
    \item Comparer les nombres 5 et 2\sqrt{6} - 3
    \item Soit -3 ≤ b ≤ -2 et 4 ≤ a ≤ 5 :
    \begin{itemize}
        \item[a)] Encadrer a + b
        \item[b)] Encadrer a - b
        \item[c)] Encadrer ab + 10
    \end{itemize}
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 :} (3 points) \\
Soit c un nombre réel positif tel que 0 ≤ \sqrt{2c - 2} ≤ 2. \\
Montrer que 1 ≤ c ≤ 3.

\bigskip

\textbf{Exercice 4 :} (1 point) \\
Soit x une mesure d’angle aigu tel que sin x = 2\sqrt{2} / 3.
\begin{itemize}
    \item[a)] Calculer m = sin² 75° + sin² 15° + cos² 65° + cos² 25°
    \item[b)] Calculer n = sin x × tan x × cos x + cos² x
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 :} (1 point) \\
Soit un triangle ABC avec BC = 3\sqrt{5} cm, AC = 6 cm et AB = 3 cm.
\begin{itemize}
    \item[a)] Montrer que le triangle ABC est rectangle
    \item Calculer tan(angle ACB) et cos(angle ABC)
    \item Soit E un point de la demi-droite [AB) tel que AE = 2{,}5 cm
    \item La parallèle à (BC) passant par E coupe (AC) en F
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Exercice 6 :} (1 point) \\
Soit un angle aigu tel que AE = FI et angle AEF = 54°
\begin{itemize}
    \item[a)] Calculer les mesures des angles AOF et FIM
    \item[b)] Montrer que angle AIE = angle IEM
\end{itemize}

\end{document}

\section*{Exercice 1 : Calculs}

\subsection*{1. Calcul de A}
A = \sqrt{8 \times \sqrt{4} - 2}\\
\sqrt{8 \times 2 - 2} = \sqrt{16 - 2} = \sqrt{14}

\subsection*{2. Calcul de B}
B = \sqrt{8 \times \sqrt{4} - 2}\\
\text{Même calcul que pour A : } \sqrt{14}

\subsection*{3. Calcul de D}
D = \sqrt{2\sqrt{5} + 2 \times \sqrt{2\sqrt{5} - 2}}\\
\text{On ne peut pas simplifier plus sans valeur approchée.}

\subsection*{4. Calcul de E}
E = 4000 \times 10^6 \times 0{,}00015\\
= (4 \times 10^3) \times (10^6) \times (1{,}5 \times 10^{-4})\\
= 4 \times 1{,}5 \times 10^{3 + 6 - 4} = 6 \times 10^5

\subsection*{5. Développement de N}
N = 5(x - 4) + (x - 4)^2\\
= 5x - 20 + x^2 - 8x + 16\\
= x^2 - 3x - 4

\subsection*{6. Développement de M}
M = (3x - 1)^2 - 3(2x + 1)\\
= 9x^2 - 6x + 1 - 6x - 3\\
= 9x^2 - 12x - 2

\section*{Exercice 2 : Comparaison et encadrements}

\subsection*{1. Comparaison}
Comparer 5 et 2\sqrt{6} - 3\\
\sqrt{6} \approx 2{,}45 \Rightarrow 2\sqrt{6} \approx 4{,}9\\
2\sqrt{6} - 3 \approx 1{,}9 < 5 \Rightarrow \boxed{5 > 2\sqrt{6} - 3}

\subsection*{2. Encadrement}
a \in [4, 5], b \in [-3, -2]\\
a + b \in [1, 3]\\
a - b \in [6, 8]\\
ab + 10 \in [-15, -8] + 10 = [-5, 2]

\section*{Exercice 3 : Inéquation}

0 \leq \sqrt{2c - 2} \leq 2\\
\text{Élevons au carré : } 0 \leq 2c - 2 \leq 4\\
\Rightarrow 2 \leq 2c \leq 6 \Rightarrow 1 \leq c \leq 3

\section*{Exercice 4 : Trigonométrie}

\subsection*{a)}
m = \sin^2 75^\circ + \sin^2 15^\circ + \cos^2 65^\circ + \cos^2 25^\circ\\
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \Rightarrow m = 1 + 1 = 2

\subsection*{b)}
\sin x = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\\
\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\dfrac{8}{9}\right) = \dfrac{1}{9}\\
\cos x = \dfrac{1}{3} (\text{car angle aigu})\\
\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{2\sqrt{2}/3}{1/3} = 2\sqrt{2}\\
n = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} + \dfrac{1}{9} = 1

\section*{Exercice 5 : Triangle et trigonométrie}

\subsection*{a)}
BC^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45\\
AB^2 + AC^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45\\
\Rightarrow ABC \text{ est rectangle en A}

\tan \widehat{ACB} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5\\
\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{6}{3\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}

\subsection*{b)}
AE = 2{,}5\\
\text{Construction de E sur [AB), puis parallèle à (BC) coupe AC en F (Théorème de Thalès)}

\section*{Exercice 6 : Angles}

AE = FI, \widehat{AEF} = 54^\circ\\
\text{Comme les triangles sont isocèles : }

\widehat{AOF} = \widehat{FIM} = 54^\circ\\
\text{Angles à la base égaux, donc } \widehat{AIE} = \widehat{IEM}

\end{document}