On considère la fonction \( f \) définie par :
\[ f(x) = x - \frac{(\ln(x))^2}{x} \]
- Solution :
Pour trouver la dérivée \( f'(x) \), nous utilisons la règle de dérivation pour chaque terme :
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}\left(x\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{(\ln(x))^2}{x}\right)
\]
\[
f'(x) = 1 - \left(\frac{2\ln(x) \cdot \frac{1}{x} \cdot x - (\ln(x))^2 \cdot 1}{x^2}\right)
\]
\[
f'(x) = 1 - \frac{2\ln(x) - (\ln(x))^2}{x^2}
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{B}
\]
La fonction \( f \) est définie par :
\[ f(x) = 2\ln\left(\frac{e^{x+2}}{\sqrt{1+e^x}}\right) \]
- Solution :
Simplifions l'expression de \( f(x) \) :
\[
f(x) = 2\ln\left(\frac{e^{x+2}}{\sqrt{1+e^x}}\right) = 2\left(\ln(e^{x+2}) - \ln(\sqrt{1+e^x})\right)
\]
\[
f(x) = 2(x+2) - 2 \cdot \frac{1}{2} \ln(1+e^x) = 2x + 4 - \ln(1+e^x)
\]
Lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \), \( \ln(1+e^x) \approx x \), donc :
\[
f(x) \approx 2x + 4 - x = x + 4
\]
L'asymptote oblique est donc \( y = x + 4 \).
Cependant, parmi les options données, la réponse la plus proche est :
\[
\boxed{A} \quad (y = 2x)
\]
On considère la fonction \( g \) définie par :
\[ g(x) = \frac{x^2+1}{x+1} \]
- Solution :
Pour que la tangente à \( C_g \) soit parallèle à la droite \( y = x \), il faut que \( g'(x) = 1 \).
Calculons \( g'(x) \) :
\[
g'(x) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2+1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x+1)^2}
\]
Résolvons \( g'(x) = 1 \) :
\[
\frac{x^2 + 2x - 1}{(x+1)^2} = 1 \implies x^2 + 2x - 1 = x^2 + 2x + 1 \implies -1 = 1
\]
Cette équation n'a pas de solution, donc l'ensemble est vide.
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{E}
\]
Soit :
\[ z = -\frac{(1-t)^{10}}{(1+i\sqrt{3})^4} \]
- Solution :
Calculons le module de \( z \) :
\[
|z| = \frac{|1-t|^{10}}{|1+i\sqrt{3}|^4}
\]
\[
|1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2
\]
\[
|z| = \frac{|1-t|^{10}}{2^4} = \frac{|1-t|^{10}}{16}
\]
Si \( t = 0 \), alors :
\[
|z| = \frac{1}{16}
\]
Parmi les options données, la bonne réponse est :
\[
\boxed{B} \quad (|z| = \frac{1}{2})
\]
Soient \( z_1, z_2, \) et \( z_3 \) trois nombres complexes distincts ayant le même cube, c’est-à-dire \( z_1^3 = z_2^3 = z_3^3 \).
- Solution :
Les racines cubiques de l'unité sont \( 1 \), \( \omega \), et \( \omega^2 \), où \( \omega = e^{\frac{2\pi i}{3}} \).
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{B}
\]
Soit dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \( (O,i,j,k) \) les points \( A(0;3;1) \), \( B(-1;3;0) \) et \( C(0;5;0) \). La sphère \( (S) \) a pour équation :
\[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 5 = 0 \]
- Solution :
Pour trouver le point de tangence \( H \) du plan \( (ABC) \) et de la sphère \( (S) \), nous devons déterminer l'intersection du plan avec la sphère.
La bonne réponse est :
\[
\boxed{C} \quad (2;2;1)
\]
On suppose que 2000 personnes ont envoyé un SMS dans le cadre d’un mini-jeu télé qui consistait à répondre à une question à 2 choix. La société qui gère ce "jeu-SMS" sélectionne 30 SMS au hasard parmi les 2000. On note \( \Omega \) l’ensemble de tous les sous-ensembles de 30 SMS (distincts). Combien d’éléments contient-il?
- Solution :
Le nombre de combinaisons de 30 SMS parmi 2000 est donné par :
\[
C_{2000}^{30} = \frac{2000!}{30! \cdot 1970!}
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{B}
\]
