On considère maintenant que vous faites partie des personnes qui ont envoyé un SMS. Quelle est la probabilité que vous soyez sélectionné(e) parmi les 2000 participants ?

  A. 0.12
  B. 0.03
  C. 0.015
  D. 0.02
  E. 0.3

Soit \( U_n = \ln(1 + ne^{-n}) \), \( n \in \mathbb{N} \). Quelle est la bonne réponse ?

  A. La suite (\( U_n \)) est bornée
  B. \(\lim_{n \to +\infty} U_n = +\infty\)
  C. \(\lim_{n \to +\infty} U_n = 1\)
  D. La suite (\( U_n \)) est divergente
  E. \(\lim_{n \to +\infty} U_n = 0\)

Soit la suite \( w(n) \) définie par \( w_0 = 1 \) et \( w_{n+1} = \frac{w_{n+3}}{2w_{n+4}} \) et on pose \( y_n = \frac{4}{2+w_n} \); \( y_{n+1} \) vérifie la relation suivante :

  A. \( y_{n+1} = \frac{23}{6+y_n} \)
  B. \( y_{n+1} = \frac{32}{6+y_n} \)
  C. \( y_{n+1} = \frac{-6}{32+y_n} \)
  D. \( y_{n+1} = \frac{6}{32+y_n} \)
  E. \( y_{n+1} = \frac{32}{20+y_n} \)

Soit (E) l’équation: \( x^x = (\sqrt{x})^{x+1} \). Quelle est la bonne réponse?
  A. \( x=1 \) est une solution
  B. \( x=2 \) est une solution
  C. \( x=0 \) est une solution
  D. \( x=e \) est une solution
  E. l’équation (E) n’admet pas de solution

Calculer l’intégrale suivante: 
\[
\int_{\frac{\cos x}{2+\sin x}}^{\frac{\cos x}{2+x}} dx
\]
  A. \( \frac{1}{2} \ln|2+\sin x| + C \)
  B. \( \ln |2+\sin x| + C \)
  C. - \(\ln |2+\sin x| + C \)
  D. \( \ln |2+\cos x| + C \)
  E. \( \frac{1}{2} \ln|2+\cos x| + C \)

Soit \( f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \). Quelle est la bonne réponse ?
  A. \( D_f = ]0, +\infty[ \)
  B. \( D_f = \mathbb{R}^* \)
  C. \( D_f = ]-\infty, -1[ \cup ]0, +\infty[ \)
  D. \( D_f = ]-1, 1[ \)
  E. \( D_f = [-1,1] \)

Soit \( f(x) = x \sin(\pi x) - \ln(x) - 1 \) définie sur \( ]0,1[ \). Quelle est la bonne réponse ?

A. \( f \) est majorée
  B. Il existe \( c \in ]0,1[ \) tel que \( f(c) = 0 \)
  C. \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty\)
  D. \( f \) est croissante
  E. \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -1\)

Solution :

La probabilité d'être sélectionné parmi 2000 participants est donnée par :

\[
P = \frac{1}{2000} = 0.0005
\]

Cependant, aucune des options proposées ne correspond à cette valeur. Il est possible qu'il y ait une erreur dans l'énoncé ou les options.

\[
\boxed{\text{Aucune des options ne correspond à la probabilité calculée.}}
\]

Solution : 

Considérons la suite \( U_n = \ln(1 + ne^{-n}) \).

Pour \( n \to +\infty \), \( ne^{-n} \to 0 \), donc :

\[
\lim_{n \to +\infty} U_n = \ln(1 + 0) = 0
\]

La bonne réponse est donc :

\[
\boxed{E}
\]

 Solution : 

La relation de récurrence est donnée par :

\[
w_{n+1} = \frac{w_n + 3}{2w_n + 4}
\]

En posant \( y_n = \frac{4}{2 + w_n} \), on peut exprimer \( y_{n+1} \) en fonction de \( y_n \). Après calcul, on trouve :

\[
y_{n+1} = \frac{32}{6 + y_n}
\]

La bonne réponse est donc :

\[
\boxed{B}
\]

 Solution : 

Considérons l'équation \( x^x = (\sqrt{x})^{x+1} \).

En testant les options :

- Pour \( x = 1 \): \( 1^1 = (\sqrt{1})^{1+1} \Rightarrow 1 = 1 \), donc \( x = 1 \) est une solution.

La bonne réponse est donc :

\[
\boxed{A}
\]

 Solution : 

L'intégrale à calculer est :

\[
\int \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx
\]

En effectuant le changement de variable \( u = 2 + \sin x \), on obtient :

\[
\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|2 + \sin x| + C
\]

La bonne réponse est donc :

\[
\boxed{B}
\]

 Solution : 

La fonction \( f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \) est définie pour \( x \in \mathbb{R}^* \) (c'est-à-dire \( x \neq 0 \)).

La bonne réponse est donc :

\[
\boxed{B}
\]

 Solution : 

Considérons la fonction \( f(x) = x \sin(\pi x) - \ln(x) - 1 \) définie sur \( ]0,1[ \).

- En \( x \to 0^+ \), \( \ln(x) \to -\infty \), donc \( f(x) \to +\infty \).
- En \( x \to 1^- \), \( f(x) \to -1 \).

De plus, \( f \) est continue sur \( ]0,1[ \) et change de signe, donc il existe \( c \in ]0,1[ \) tel que \( f(c) = 0 \).

La bonne réponse est donc :

\[
\boxed{B}
\]