Équations différentielles:
De nombreux problèmes pratiques en physique et en ingénierie peuvent être convertis en équations différentielles. La résolution des équations différentielles est donc d'une importance primordiale. Ce chapitre traite de certains aspects élémentaires des équations différentielles. Ces aspects sont abordés à travers une application simple du calcul différentiel et intégral.
Il y a deux aspects importants des équations différentielles, qui sont simplement effleurés dans ce chapitre. Le premier est de savoir comment formuler un problème sous forme d'équation différentielle, et le second est de savoir comment la résoudre.
- Définition:
Une équation impliquant une variable indépendante \( x \), une variable dépendante \( y \) et les coefficients différentiels \(\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, \ldots\) est appelée équation différentielle.
- Exemples :
(i) \(\frac{dy}{dx} = 1 + x + y\)
(ii) \(\frac{dy}{dx} + xy = \cot x\)
(iii) \(\left(\frac{d^4y}{dx^4}\right)^3 - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 5\cos 3x\)
(iv) \(x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = 0\)
Ordre d'une équation différentielle :
L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée apparaissant dans l'équation différentielle. Par exemple, l'ordre des équations différentielles ci-dessus est respectivement 1, 1, 4 et 2.
- Remarque:
L'ordre d'une équation différentielle est un entier positif. Pour déterminer l'ordre d'une équation différentielle, il n'est pas nécessaire de libérer l'équation des radicaux.
- Degré d'une équation différentielle :
Le degré d'une équation différentielle est le degré de la dérivée d'ordre le plus élevé, lorsque les coefficients différentiels sont libérés des radicaux et des fractions. En d'autres termes, le degré d'une équation différentielle est la puissance de la dérivée d'ordre le plus élevé apparaissant dans l'équation différentielle lorsqu'elle est écrite sous forme de polynôme en coefficients différentiels.
- Remarque :
La définition du degré n'exige pas que les variables ( x, y, t ) etc. soient libérées des radicaux et des fractions. Le degré des équations différentielles ci-dessus est respectivement 1, 1, 3 et 2.
