Exemple :
L'ordre de l'équation différentielle, dont la solution générale est \( y = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x} + c_4 e^{x+5} \), où \( c_1, c_2, c_3, c_4, c_5 \) sont des constantes arbitraires, est
*[(a)] 5
*[(b)] 4
*[(c)] 3
*[(d)] Aucun de ces choix
- Solution :
En réécrivant la solution générale donnée, nous avons
\[
y = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x} + c_4 e^{x} e^{5x}
\]
\[
= (c_1 + c_4 e^{5x}) e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x} = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x}
\]
où \( c_1' = c_1 + c_4 e^{5x} \). Il y a donc 3 constantes arbitraires associées à différents termes. Par conséquent, l'ordre de l'équation différentielle formée sera 3.
- Exemple:
Le degré de l'équation différentielle satisfaisant \(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} = a(x-y)\) est
*[(a)] 1
*[(b)] 2
*[(c)] 3
*[(d)] Aucun de ces choix
- Solution :
Pour éliminer \( a \), l'équation ci-dessus est différenciée une fois et l'exposant de \(\frac{dy}{dx}\) sera 1. Par conséquent, le degré est 1.
- Exemple :
L'ordre et le degré de \( y = 1 + \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2!} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{1}{3!} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \ldots \) sont
*[(a)] 1, 2
*[(b)] 1, 1
*[(c)] Ordre 1, degré non défini
*[(d)] Aucun de ces choix
- Solution :
L'équation différentielle donnée peut être réécrite comme \( y = e^{\frac{dy}{dx}} \Rightarrow \ln y = \frac{dy}{dx} \). Il s'agit d'un polynôme en dérivée. Par conséquent, l'ordre est 1 et le degré est 1.
- Exemple :
L'ordre et le degré de \(\frac{d^2 y}{dx^2} = \sin \left(\frac{dy}{dx}\right) + x\) sont
*[(a)] 2, 1
*[(b)] Ordre 2, degré non défini
*[(c)] 2, 0
*[(d)] Aucun de ces choix
- Solution :
Comme la dérivée d'ordre le plus élevé impliquée est \(\frac{d^2 y}{dx^2}\), l'ordre est 2. L'équation différentielle donnée ne peut pas être écrite comme un polynôme en dérivées, donc le degré n'est pas défini.
- Formation des équations différentielles:
Formuler une équation différentielle à partir d'une équation donnée représentant une famille de courbes signifie trouver une équation différentielle dont la solution est l'équation donnée. Si une équation, représentant une famille de courbes, contient \( n \) constantes arbitraires, alors nous différencions l'équation donnée \( n \) fois pour obtenir \( n \) équations supplémentaires. En utilisant toutes ces équations, nous éliminons les constantes. L'équation ainsi obtenue est l'équation différentielle d'ordre \( n \) pour la famille de courbes donnée.
Considérons une famille de courbes \( f(x, y, a_1, a_2, \ldots, a_n) = 0 \) \ldots (i)
où \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) sont \( n \) paramètres indépendants.
L'équation (i) est connue comme une famille de courbes à \( n \) paramètres, par exemple \( y = mx \) est une famille de droites à un paramètre. \( x^2 + y^2 + ax + by = 0 \) est une famille de cercles à deux paramètres.
Si nous différencions l'équation (i) \( n \) fois par rapport à \( x \), nous obtiendrons \( n \) relations supplémentaires entre \( x, y, a_1, a_2, \ldots, a_n \) et les dérivées de \( y \) par rapport à \( x \). En éliminant \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) de ces \( n \) relations et de l'équation (i), nous obtenons une équation différentielle.
