Formation des équations différentielles :

L'ordre de cette équation différentielle sera \( n \), c'est-à-dire égal au nombre de paramètres indépendants dans la famille de courbes.

- Algorithme pour la formation des équations différentielles 

    -[Étape (i)] : Écrire l'équation donnée impliquant la variable indépendante \( x \) (par exemple), la variable dépendante \( y \) (par exemple) et les constantes arbitraires.
    
    -[Étape (ii)] : Obtenir le nombre de constantes arbitraires dans l'étape (i). Supposons qu'il y ait \( n \) constantes arbitraires.
    
    -[Étape (iii)] : Différencier la relation de l'étape (i) \( n \) fois par rapport à \( x \).
    
    -[Étape (iv)] : Éliminer les constantes arbitraires à l'aide des \( n \) équations impliquant les coefficients différentiels obtenus dans l'étape (iii) et de l'équation de l'étape (i). L'équation ainsi obtenue est l'équation différentielle recherchée.

- Exemple : 

L'équation différentielle dont la solution générale est \( y = c_1x + \frac{c_2}{x} \) pour toutes les valeurs de \( c_1 \) et \( c_2 \) est

    -[(a)] \[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{x^2}{y} + \frac{dy}{dx} = 0 \]
    -[(b)] \[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{y}{x^2} - \frac{dy}{dx} = 0 \]
    -[(c)] \[ \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{1}{2x} \frac{dy}{dx} = 0 \]
    -[(d)] \[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} = 0 \]

- Solution :
 \[ y = c_1x + \frac{c_2}{x} \] \ldots (i)

Il y a deux constantes arbitraires. Pour éliminer ces constantes, nous devons différencier (i) deux fois. En différenciant (i) par rapport à \( x \),

\[ \frac{dy}{dx} = c_1 - \frac{c_2}{x^2} \] \ldots (ii)

En différenciant à nouveau par rapport à \( x \),

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2c_2}{x^3} \] \ldots (iii)

De (iii), \( c_2 = \frac{x^3}{2} \frac{d^2y}{dx^2} \) et de (ii), \( c_1 = \frac{dy}{dx} + \frac{c_2}{x^2} \);

\[ c_1 = \frac{dy}{dx} + \frac{x}{2} \frac{d^2y}{dx^2} \]

De (i), \( y = \left( \frac{dy}{dx} + \frac{x}{2} \frac{d^2y}{dx^2} \right) x + \frac{x^2}{2} \frac{d^2y}{dx^2} \Rightarrow y = x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} \)

\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} = 0 \]

- Exemple :

\[ y = \frac{-x}{x+1} \] est une solution de l'équation différentielle

    -[(a)] \[ y^2 \frac{dy}{dx} = x^2 \]
    -[(b)] \[ x^2 \frac{dy}{dx} = y^2 \]
    -[(c)] \[ y \frac{dy}{dx} = x \]
    -[(d)] \[ x \frac{dy}{dx} = y \]

- Solution :
Nous avons \[ y = \frac{-x}{x+1} \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x} \]

En différenciant par rapport à \( x \),

\[ -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{x^2} \]

\[ x^2 \frac{dy}{dx} = y^2 \]