- Exemple : 

L'équation différentielle de toutes les paraboles dont les axes sont parallèles à l'axe \( y \) est

(a) \(\frac{d^3 y}{dx^3} = 0\) \ (b) \(\frac{d^2 x}{dy^2} = c\) \ (c) \(\frac{d^3 y}{dx^3} + \frac{d^2 y}{dx^2} = 0\) \ (d) \(\frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = c\)

Solution: 
L'équation d'une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe \(y\) peut être exprimée comme \((x - \alpha)^2 = 4a(y - \beta)\) \ ……..(i)

Il y a trois constantes arbitraires \(\alpha, \beta\) et \(a\).

Nous devons différencier (i) 3 fois.

En différenciant (i) par rapport à \(x\), \(2(x - \alpha) = 4a \frac{dy}{dx}\)

En différenciant à nouveau par rapport à \(x\),

\[2 = 4a \frac{d^2 y}{dx^2} \Rightarrow \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{1}{2a}\]

En différenciant par rapport à \(x\),

\[\frac{d^3 y}{dx^3} = 0\]

Exemple: 
L'équation différentielle de la famille de courbes dont la tangente forme un angle de \(\pi/4\) avec l'hyperbole \(xy = c^2\) est

(a) \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + c^2}{x^2 - c^2}\) \ (b) \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - c^2}{x^2 + c^2}\) \ (c) \(\frac{dy}{dx} = -\frac{c^2}{x^2}\) \ (d) Aucune de ces réponses

Solution: 
La pente de la tangente à la famille de courbes est \(m_1 = \frac{dy}{dx}\)

L'équation de l'hyperbole est \(xy = c^2 \Rightarrow y = \frac{c^2}{x}\)

\[\therefore \frac{dy}{dx} = -\frac{c^2}{x^2}\]

\(\therefore\) La pente de la tangente à \(xy = c^2\) est \(m_2 = -\frac{c^2}{x^2}\)

Maintenant \(\tan \frac{\pi}{4} = \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \Rightarrow 1 = \frac{\frac{dy}{dx} + \frac{c^2}{x^2}}{1 - \frac{c^2}{x^2} \frac{dy}{dx}} \Rightarrow \frac{dy}{dx} \left( 1 + \frac{c^2}{x^2} \right) = \left( 1 - \frac{c^2}{x^2} \right)\)

\[\therefore \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - c^2}{x^2 + c^2}\]

- Équation différentielle à variables séparables: 

(1) Solution des équations différentielles : Si nous avons une équation différentielle d'ordre 'n', alors en résolvant une équation différentielle, nous entendons obtenir une famille de courbes avec n paramètres dont l'équation différentielle est l'équation différentielle donnée. La solution ou l'intégrale d'une équation différentielle est une relation entre les variables, n'impliquant pas les coefficients différentiels, de telle sorte que cette relation et les dérivées obtenues à partir de celle-ci satisfont l'équation différentielle donnée. La solution d'une équation différentielle est également appelée sa primitive.

Par exemple \(y = e^x\) est une solution de l'équation différentielle \(\frac{dy}{dx} = y\).

(i) Solution générale : La solution qui contient autant de constantes arbitraires que l'ordre de l'équation différentielle est appelée la solution générale de l'équation différentielle. Par