Ceci est une forme séparable de variables et peut être résolue.

- Exemple :
La solution de l'équation différentielle \( (1+x^2) \frac{dy}{dx} = x(1+y^2) \) est :

(a) \( 2\tan^{-1}y = \log(1+x^2)+c \) \ (b) \( \tan^{-1}y = \log(1+x^2)+c \) \ (c) \( 2\tan^{-1}y + \log(1+x^2)+c = 0 \) \ (d) Aucune de ces réponses

- Solution :
(a) En séparant les variables, nous pouvons réécrire l'équation différentielle donnée comme \[ \frac{x\,dx}{1+x^2} = \frac{dy}{1+y^2} \Rightarrow \int \frac{2x\,dx}{1+x^2} = 2 \int \frac{dy}{1+y^2} \Rightarrow 2\tan^{-1}y = \log(1+x^2)+c \]

- Exemple :

La solution de l'équation différentielle \[ \frac{dy}{dx} = x^2 + \sin 3x \] est :

(a) \( y = \frac{x^3}{3} + \frac{\cos 3x}{3} + c \) \ (b) \( y = \frac{x^3}{3} - \frac{\cos 3x}{3} + c \) \ (c) \( y = \frac{x^3}{3} + \sin 3x + c \) \ (d) Aucune de ces réponses

- Solution :
Nous avons \( dy = (x^2 + \sin 3x)\,dx \Rightarrow \int dy = \int (x^2 + \sin 3x)\,dx \Rightarrow y = \frac{x^3}{3} - \frac{\cos 3x}{3} + c \)

-Exemple :
La solution de \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y^2 + \sin y} \] est \[ (a) x = \frac{y^3}{3} - \cos y + c \] \ (b) \( y + \cos y = x + c \) \ (c) \( x = \frac{y^3}{3} + \cos y + c \) \ (d) Aucune de ces réponses

- Solution :

L'équation donnée peut être réécrite comme \( dx = (y^2 + \sin y)\,dy \)

En intégrant, \[ \int dx = \int (y^2 + \sin y)\,dy \]

\[ x = \frac{y^3}{3} - \cos y + c \]

- Exemple:
La solution de l'équation différentielle \[ \frac{dy}{dx} = (4x + y + 1)^2 \] est \[ (a) 4x - y + 1 = 2 \tan(2x - 2c) \] \ (b) \( 4x - y - 1 = 2 \tan(2x - 2c) \) \ (c) \( 4x + y + 1 = 2 \tan(2x + 2c) \) \ (d) Aucune de ces réponses

- Solution:
Soit \( 4x + y + 1 = z \Rightarrow 4 + \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} - 4 \)

\[ \frac{dy}{dx} = (4x + y + 1)^2 \]

\[ \Rightarrow \frac{dz}{dx} - 4 = z^2 \Rightarrow \frac{dz}{dx} = z^2 + 4 \Rightarrow \frac{dz}{z^2 + 4} = dx \Rightarrow \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{z}{2} = x + c \Rightarrow \tan^{-1} \left( \frac{4x + y + 1}{2} \right) = 2x + 2c \]

\[ 4x + y + 1 = 2 \tan (2x + 2c) \]

- Exemple :
Solution de l'équation différentielle \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x + y + 7}{2x + 2y + 3} \] est \[ (a) 6(x + y) + 11 \log(3x + 3y + 10) = 9x + c \] \ (b) \( 6(x + y) - 11 \log(3x + 3y + 10) = 9x + c \) \ (c) \( 6(x + y) - 11 \log \left( x + y + \frac{10}{3} \right) = 9x + c \) \ (d) Aucune de ces réponses

- Solution :
(b, c) L'équation donnée peut être réécrite comme \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x + y + 7}{2(x + y) + 3} \]

Soit \( x + y = z \)

\[
\Rightarrow 1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} - 1
\]

\[
\therefore \frac{dz}{dx} - 1 = \frac{z+7}{2z+3}
\]

\[
\Rightarrow \frac{dz}{dx} = 1 + \frac{z+7}{2z+3} \Rightarrow \frac{3z+10}{2z+3}
\]

\[
\Rightarrow \frac{2z+3}{3z+10} dz = dx
\]

\[
\Rightarrow \frac{2}{3}(3z+10) - \frac{11}{3} dz = dx
\]

\[
\Rightarrow \int \frac{2}{3} dz - \frac{11}{9} \int \frac{3dz}{3z+10} = \int dx
\]

\[
\Rightarrow \frac{2}{3} z - \frac{11}{9} \log (3z+10) = x + c_1
\]

\[
\Rightarrow 6z - 11 \log (3z+10) = 9x + 9c_1
\]

\[
\therefore 6(x+y)-11 \log (3x+3y+10) = 9x+c \quad [9c_1 = c]
\]

\[
\Rightarrow 6(x+y)-11 \log 3 \left( x+y+\frac{10}{3} \right) = 9x+c
\]

\[
\Rightarrow 6(x+y)-11 \log \left( x+y+\frac{10}{3} \right) = 9x+(c+11 \log 3)
\]

\[
\therefore 6(x+y)-11 \log \left( x+y+\frac{10}{3} \right) = 9x+k \quad (k = c+11 \log 3)
\]