-  Équation différentielle homogène :

(1) Équation différentielle homogène : Une fonction \( f(x, y) \) est dite fonction homogène de degré \( n \) si \( f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x,y) \).

Par exemple, \( f(x,y) = x^2 - y^2 + 3xy \) est une fonction homogène de degré 2, car \( f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^2 x^2 - \lambda^2 y^2 + 3\lambda x \). Une fonction homogène \( f(x, y) \) de degré \( n \) peut toujours s'écrire sous la forme \( f(x,y) = x^n f\left( \frac{y}{x} \right) \) ou \( f(x,y) = y^n f\left( \frac{x}{y} \right) \). Si une équation différentielle du premier ordre et du premier degré peut s'exprimer sous la forme \( \frac{dy}{dx} = \frac{f(x,y)}{g(x,y)} \) où \( f(x, y) \) et \( g(x, y) \) sont des fonctions homogènes de même degré, alors elle est appelée équation différentielle homogène. Ce type d'équations peut être réduit à une forme à variables séparables par la substitution \( y = vx \). L'équation différentielle donnée peut s'écrire comme \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^n f(y/x)}{x^n g(y/x)} = \frac{f(y/x)}{g(y/x)} = F\left( \frac{y}{x} \right) \). Si \( y = vx \), alors \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dy}{dx} \). En substituant la valeur de \( \frac{dy}{dx} = F\left( \frac{y}{x} \right) \), on obtient \( v + x \frac{dy}{dx} = F(v) \Rightarrow \frac{dy}{F(v) - v} = \frac{dx}{x} \). En intégrant, \( \int \frac{1}{F(v) - v} dv = \int \frac{dx}{x} + C \) où \( C \) est une constante d'intégration arbitraire. Après intégration, \( v \) sera remplacé par \( \frac{y}{x} \) dans la solution complète.

(2) Algorithme pour résoudre une équation différentielle homogène

Étape (i) : Mettre l'équation différentielle sous la forme \( \frac{dy}{dx} = \frac{\phi(x,y)}{\psi(x,y)} \)

Étape (ii) : Poser \( y = vx \) et \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dy}{dx} \) dans l'équation de l'étape (i) et simplifier \( x \) du côté droit. L'équation se réduit à la forme \( v + x \frac{dy}{dx} = F(v) \).

Étape (iii) : Déplacer \( v \) du côté droit et séparer les variables \( v \) et \( x \)