- Étape (iv)} : Intégrer les deux côtés pour obtenir la solution en termes de \( v \) et \( x \).

- Étape (v)} : Remplacer \( v \) par \( \frac{y}{x} \) dans la solution obtenue à l'étape (iv) pour obtenir la solution en termes de \( x \) et \( y \).

-  Équation réductible à une forme homogène:
Une équation différentielle du premier ordre et du premier degré de la forme

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2}, \text{ où } \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \quad \text{......}(i)
\]

Cette équation est non homogène.
Elle peut être réduite à une forme homogène par certaines substitutions. Poser \( x = X + h, y = Y + k \)
Où \( h \) et \( k \) sont des constantes à déterminer.

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dY} \cdot \frac{dY}{dX} \cdot \frac{dX}{dx} = \frac{dY}{dX}
\]

En substituant ces valeurs dans (i), on obtient

\[
\frac{dY}{dX} = \frac{(a_1 X + b_1 Y) + a_1 h + b_1 k + c_1}{(a_2 X + b_2 Y) + a_2 h + b_2 k + c_2} \quad \text{......}(ii)
\]

Maintenant, \( h \) et \( k \) seront choisis de telle sorte que

\[
\begin{cases}
a_1 h + b_1 k + c_1 = 0 \\
a_2 h + b_2 k + c_2 = 0
\end{cases}
\]

\[
h \quad k \quad 1
\]

\[
\frac{b_1 c_2 - b_2 c_1}{c_1 a_2 - c_2 a_1} = \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1} \quad \text{......}(iv)
\]

Pour ces valeurs de \( h \) et \( k \), l'équation (ii) se réduit à

\[
\frac{dY}{dX} = \frac{a_1 X + b_1 Y}{a_2 X + b_2 Y} \quad \text{qui est une équation différentielle homogène et peut être résolue par la substitution } Y = vX. \text{ En remplaçant } X \text{ et } Y \text{ dans la solution ainsi obtenue par } x - h \text{ et } y - k \text{ respectivement, on peut obtenir la solution requise en termes de } x \text{ et } y.
\]

- Exemple : 
La solution de l'équation différentielle

\[
x \frac{dy}{dx} = y (\log y - \log x + 1) \text{ est} \quad [\text{IIT 1986}]
\]

(a) \( y = xe^{cx} \) \quad (b) \( y + xe^{cx} = 0 \) \quad (c) \( y + e^x = 0 \) \quad (d) Aucune de ces réponses

- Solution :
L'équation donnée peut être exprimée comme

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \left[ \log \left( \frac{y}{x} \right) + 1 \right] \quad \text{......}(i)
\]

Soit \( \frac{y}{x} = v \Rightarrow y = vx \Rightarrow \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)

De (i),

\[
v + x \frac{dv}{dx} = v (\log v + 1) \Rightarrow x \frac{dv}{dx} = v \log v \Rightarrow \frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x} \Rightarrow \int \frac{1}{\log v} d(\log v) = \int \frac{dx}{x}
\]

\(\therefore \log (\log v) = \log x + \log c \Rightarrow \log (\log v) = \log (cx) \Rightarrow \log v = cx \Rightarrow v = e^{cx} \Rightarrow \frac{y}{x} = e^{cx}, \therefore y = xe^{cx}\)