(iii) \( d\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{ydx - xdy}{y^2} \) 
(iv) \( d\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{xdy - ydx}{x^2} \) 
(v) \( d\left(\frac{x^2}{y}\right) = \frac{2xydx - x^2dy}{y^2} \) 
(vi) \( d\left(\frac{y^2}{x}\right) = \frac{2xydy - y^2dx}{x^2} \) 
(vii) \( d\left(\frac{x^2}{y^2}\right) = \frac{2xy^2dx - 2x^2ydy}{y^4} \) 
(viii) \( d\left(\frac{y^2}{x^2}\right) = \frac{2x^2ydy - 2xy^2dx}{x^4} \) 
(ix) \( d\left(\tan^{-1}\frac{x}{y}\right) = \frac{ydx - xdy}{x^2 + y^2} \) 
(x) \( d\left(\tan^{-1}\frac{y}{x}\right) = \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2} \) 
(xi) \( d[\ln(xy)] = \frac{xdy + ydx}{xy} \) 
(xii) \( d\left(\ln\left(\frac{x}{y}\right)\right) = \frac{ydx - xdy}{xy} \) 
(xiii) \( d\left[\frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2)\right] = \frac{xdx + ydy}{x^2 + y^2} \) 
(xiv) \( d\left[\ln\left(\frac{y}{x}\right)\right] = \frac{xdy - ydx}{xy} \) 
(xv) \( d\left(-\frac{1}{xy}\right) = \frac{xdy + ydx}{x^2y^2} \) 
(xvi) \( d\left(\frac{e^x}{y}\right) = \frac{ye^x dx - e^x dy}{y^2} \) 
(xvii) \( d\left(\frac{e^y}{x}\right) = \frac{xe^y dy - e^y dx}{x^2} \) 
(xviii) \( d(x^m y^n) = x^{m-1} y^{n-1}(my dx + nx dy) \) 
(xix) \( d\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right) = \frac{xdx + ydy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \) 
(xx) \( d\left(\frac{1}{2}\log\frac{x+y}{x-y}\right) = \frac{xdy - ydx}{x^2 - y^2} \) 
(xxi) \( \frac{d[f(x,y)]^{1-n}}{1-n} = \frac{f'(x,y)}{(f(x,y))^n} \) 

- Exemple : 
La solution générale de l'équation différentielle \((x + y)dx + xdy = 0\) est  
(a) \( x^2 + y^2 = c \)  
(b) \( 2x^2 - y^2 = c \)  
(c) \( x^2 + 2xy = c \)  
(d) \( y^2 + 2xy = c \)  

- Solution :
Nous avons \( xdx + (ydx + xdy) = 0 \Rightarrow xdx + d(xy) = 0 \)  
En intégrant, \(\frac{x^2}{2} + xy = \frac{c}{2}\)  
∴ \( x^2 + 2xy = c \)  

- Exemple :
La solution de \( y(2xy + e^x)dx = e^xdy \) est  
(a) \( yx^2 + e^x = cy \)  
(b) \( xy^2 + e^x = cx \)  
(c) \( xy^2 + e^x = c \)  
(d) Aucune de ces réponses  

- Solution :
En réécrivant l'équation donnée,  
\( 2xy^2dx + ye^xdx = e^xdy \Rightarrow 2xdx + \frac{ye^xdx - e^xdy}{y^2} = 0 \Rightarrow d(x^2) + d\left(\frac{e^x}{y}\right) = 0 \)  
En intégrant, \( x^2 + \frac{e^x}{y} = c \)  
∴ \( yx^2 + e^x = cy \)  

- Exemple : 
La solution de \((x^2 - 4xy - 2y^2)dx + (y^2 - 4xy - 2x^2)dy = 0\) est  
(a) \( x^3 + y^3 - 6xy(x + y) = c \)  
(b) \( x^3 + y^3 + 6xy(x - y) = c \)  
(c) \( x^3 + y^3 + 6xy(x + y) = c \)  
(d) \( x^3 + y^3 - 6xy(x - y) = c \)  

- Solution :
En comparant l'équation donnée avec \( Mdx + Ndy = 0 \),

Nous obtenons, \( M = x^2 - 4xy - 2y^2 \), \( N = y^2 - 4xy - 2x^2 \)

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = -4x - 4y
\]

\[
\frac{\partial N}{\partial x} = -4y - 4x
\]

\[
\therefore \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
\]

Ainsi, l'équation différentielle donnée est exacte.

En intégrant \( M \) par rapport à \( x \), en traitant \( y \) comme une constante,

\[
\int Mdx = \int (x^2 - 4xy - 2y^2)dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2y - 2y^2x
\]

En intégrant \( N \) par rapport à \( y \), en traitant \( x \) comme une constante,

\[
\int Ndy = \int (y^2 - 4xy - 2x^2)dy = \frac{y^3}{3} - 2xy^2 - 2x^2y = \frac{y^3}{3}; \text{(en omettant} - 2xy^2 - 2x^2y \text{ qui apparaissent déjà dans } \int Mdx)
\]

La solution de l'équation donnée est

\[
\frac{x^3}{3} - 2x^2y - 2xy^2 + \frac{y^3}{3} = \lambda \Rightarrow x^3 + y^3 - 6xy(x+y) = 3\lambda
\]

\[
\therefore x^3 + y^3 - 6xy(x+y) = c \quad (\exists \lambda = c)
\]