- Aire des Régions Délimitées :
(4) Si l'équation d'une courbe est donnée sous forme paramétrique, c'est-à-dire \( x = f(t) \), \( y = g(t) \), alors l'aire est donnée par
\[
\text{Aire} = \int_{a}^{b} y \, dx = \int_{t_1}^{t_2} g(t) f'(t) \, dt
\]
où \( t_1 \) et \( t_2 \) sont les valeurs de \( t \) correspondant respectivement aux valeurs \( a \) et \( b \) de \( x \).
- Convention de signe pour le calcul des aires par intégration :
En appliquant la convention de signe discutée, nous allons examiner trois cas.
* *Cas I : Dans l'expression \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\), si \( b > a \) et \( f(x) > 0 \) pour tout \( a \leq x \leq b \), alors cette intégration donnera l'aire comprise entre la courbe \( f(x) \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = a \) et \( x = b \), qui est positive. Aucune modification n'est nécessaire.
* *Cas II : Si dans l'expression \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\), \( b > a \) et \( f(x) < 0 \) pour tout \( a \leq x \leq b \), alors cette intégration sera négative. Cependant, la valeur numérique ou absolue doit être prise pour représenter l'aire comprise entre la courbe \( y = f(x) \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = a \) et \( x = b \).
* *Cas III : Si dans l'expression \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\), \( b > a \) mais \( f(x) \) change de signe plusieurs fois dans l'intervalle \( a \leq x \leq b \), alors nous devons diviser la région \([a, b]\) de manière à identifier clairement les points où \( f(x) \) change de signe. Pour la région où \( f(x) > 0 \), nous intégrons simplement pour obtenir l'aire dans cette région, puis nous ajoutons la valeur absolue de l'intégration calculée dans la région où \( f(x) < 0 \) pour obtenir l'aire souhaitée entre la courbe \( y = f(x) \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = a \) et \( x = b \).
Ainsi, si \( f(x) \) est comme dans la figure ci-dessus, l'aire délimitée par \( y = f(x) \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = a \) et \( x = b \) est donnée par
\[
A = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \left| \int_{c}^{d} f(x) \, dx \right| + \int_{d}^{e} f(x) \, dx + \left| \int_{e}^{f} f(x) \, dx \right| + \int_{f}^{b} f(x) \, dx
\]
- Exemple :
L'aire (en unités carrées) délimitée par la courbe \( x^2 y = 36 \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = 6 \) et \( x = 9 \) est
(a) 2 (b) 1 (c) 4 (d) 3
* *Solution :} (a) L'aire requise est donnée par
\[
\text{Aire} = \int_{6}^{9} y \, dx = \int_{6}^{9} \frac{36}{x^2} \, dx \quad \left[\text{Car } x^2 y = 36 \Rightarrow y = \frac{36}{x^2}\right]
\]
\[
= \left[ -\frac{36}{x} \right]_{6}^{9} = \left[ \frac{36}{9} - \frac{36}{6} \right] = [4 - 6] = 2.
\]
