- Exemple : 

L'aire délimitée par l'axe des \( x \), la courbe \( y = f(x) \) et les droites \( x = 1 \), \( x = b \) est égale à \(\sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{2}\) pour tout \( b > 1 \). Alors \( f(x) \) .

(a) \(\sqrt{x-1}\) (b) \(\sqrt{x+1}\) (c) \(\sqrt{x^2-1}\) (d) \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)

\[
\boxed{ Solution  : }
\] 
\[
\int_{1}^{b} f(x) \, dx = \sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{2} = \left[ \sqrt{x^2 + 1} \right]_{1}^{b}
\]
\[
\Rightarrow f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}
\]
Ainsi, \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \).

- Exemple : 

L'aire de la région délimitée par la courbe \( y = x - x^2 \) entre \( x = 0 \) et \( x = 1 \)  

(a) \(\frac{1}{6}\) (b) \(\frac{1}{3}\) (c) \(\frac{1}{2}\) (d) \(\frac{5}{6}\)

\[
\boxed{ Solution  : }
\] 
(a) L'aire requise est donnée par
\[
\int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
\]

- Exemple :

Trouvez l'aire délimitée entre la courbe \( y^2 = 2y - x \) et l'axe des \( y \).

(a) \(\frac{4}{3}\) (b) \(\frac{2}{3}\) (c) \(\frac{1}{3}\) (d) 5

\[
\boxed{ Solution  : }
\] 
(a) L'aire entre la courbe donnée \( x = 2y - y^2 \) et l'axe des \( y \) sera comme indiqué.

\[
\text{Aire requise} = \int_{0}^{2} (2y - y^2) \, dy
\]
\[
= \left[ y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{4}{3}
\]

- Exemple: 

Trouvez l'aire délimitée par les courbes \( x = a \cos t \), \( y = b \sin t \) dans le premier quadrant.

(a) \(\frac{\pi ab}{4}\) (b) \(\frac{\pi a^2 b}{4}\) (c) \(\frac{\pi ab^2}{4}\) (d) Aucune de ces réponses

\[
\boxed{ Solution  : }
\] 
(a) Les équations données sont clairement les équations paramétriques de l'ellipse \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\). La courbe rencontre l'axe des \( x \) dans le premier quadrant au point \((a,0)\).

\[
\text{Aire requise} = \int_{0}^{a} y \, dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} b \sin t \, dx = ab \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 t \, dt = \frac{\pi ab}{4}
\]
\[
(\text{Car à } x = 0, t = \pi / 2 \text{ et à } x = a, t = 0)
\]