- Exemple: 

Trouvez l'aire totale du cercle \( x^2 + y^2 = a^2 \).

(a) \(\pi\) (b) \(\pi a^2\) (c) \(\pi a^3\) (d) \(a^2\)

\[
\boxed{ Solution  : }
\]  (b) L'aire requise est symétrique par rapport aux deux axes, comme indiqué dans la figure.

\[
\text{Aire requise} = 4 \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = 4 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a} \right]_0^a
\]
\[
= 4 \left[ \frac{\pi}{2} \times \frac{a^2}{2} \right]_0^a = \pi a^2
\]

- Exemple :

Trouvez l'aire délimitée par la parabole \( y^2 = 4x \) et son latus rectum.

(a) \(\frac{8}{3}\) (b) \(\frac{4}{3}\) (c) \(\frac{16}{3}\) (d) Aucune de ces réponses

\[
\boxed{ Solution  : }
\]  (a) Comme la courbe est symétrique par rapport à l'axe des \( x \), l'aire requise est

\[
= 2 \int_0^1 y \, dx = 2 \int_0^1 \sqrt{4x} \, dx
\]
\[
= 4 \left[ \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} \right]_0^1 = \frac{8}{3}
\]

- Aire entre deux courbes :

(1) Lorsque les deux courbes se croisent en deux points et que leur aire commune se situe entre ces points :

Si les courbes \( y_1 = f_1(x) \) et \( y_2 = f_2(x) \), où \( f_1(x) > f_2(x) \), se croisent en deux points \( A(x = a) \) et \( B(x = b) \), alors l'aire commune entre les courbes est

\[
= \int_a^b (y_1 - y_2) \, dx
\]
\[
= \int_a^b [f_1(x) - f_2(x)] \, dx
\]

(2) Lorsque deux courbes se croisent en un point et que l'aire entre elles est délimitée par l'axe des \( x \) :

L'aire délimitée par les courbes \( y = f_1(x) \), \( y_2 = f_2(x) \) et l'axe des \( x \) est

\[
= \int_a^a f_1(x) \, dx + \int_a^b f_2(x) \, dx
\]

où \( P(\alpha, \beta) \) est le point d'intersection des deux courbes.