\[ \text{[Exemple :]} \]
L'aire délimitée par les droites \( y = 2 + x \), \( y = 2 - x \) et \( x = 2 \) est
(a) 3 (b) 4 (c) 8 (d) 16
\[
\boxed{ Solution : }
\]
(b) Les droites données sont \( y = x + 2 \), \( y = -x + 2 \), \( x = 2 \). L'aire requise est l'aire du triangle \( \triangle CAB = \frac{1}{2}(2)(4) = 4 \) unités carrées.
\[ \text{[Exemple :]} \]
L'aire délimitée par la courbe \( y^2 = 4x \) et \( x^2 = 4y \)
(a) \( \frac{16}{3} \) unités carrées (b) \( \frac{3}{16} \) unités carrées (c) \( \frac{14}{3} \) unités carrées (d) \( \frac{3}{14} \) unités carrées
\[
\boxed{ Solution : }
\] (a) L'aire requise est donnée par
\[
\int_{0}^{4} \left( \sqrt{4x} - \frac{x^2}{4} \right) dx = \frac{16}{3} \text{ unités carrées.}
\]
- Astuce :
D'après les conseils importants, l'aire de la région délimitée par \( y^2 = 4ax \) et \( x^2 = 4by \) est \( \frac{16ab}{3} \) unités carrées.
Ici, \( y^2 = 4x \) et \( x^2 = 4y \), donc \( a = 1 \) et \( b = 1 \). L'aire requise est \( \frac{16}{3} \) unités carrées.
\[ \text{[Exemple :]} \]
L'aire de la région délimitée par la courbe \( y = \sin x \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = 0 \) et \( x = \pi \) est
(a) 4 (b) 2 (c) 0 (d) Aucune de ces réponses
\[
\boxed{ Solution : }
\] (b) L'aire requise est donnée par
\[
\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi/2} = 2 [(-\cos \pi / 2) - (-\cos 0)] = 2(1) = 2 \text{ unités carrées.}
\]
- Astuce : Pour la courbe \( y = \sin x \) ou \( \cos x \), l'aire de \( \int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx = 1 \), \( \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = 2 \), \( \int_{0}^{3\pi/2} \sin x \, dx = 3 \), \( \int_{0}^{2\pi} \sin x \, dx = 4 \), et ainsi de suite.
\[ \text{[Exemple :]} \]
L'aire délimitée par la parabole \( y^2 = 8x \) et la droite \( y = 2x \) est
(a) \( \frac{4}{3} \) (b) \( \frac{3}{4} \) (c) \( \frac{1}{4} \) (d) \( \frac{1}{2} \)
\[
\boxed{ Solution : }
\]
1. **Étape 1** : Trouver les points d'intersection entre la parabole et la droite.
- Substituer \( y = 2x \) dans l'équation de la parabole :
\[
(2x)^2 = 8x
\]
\[
4x^2 = 8x
\]
\[
4x^2 - 8x = 0
\]
\[
4x(x - 2) = 0
\]
Les solutions sont :
\[
x = 0 \quad \text{et} \quad x = 2
\]
- Les points d'intersection sont donc \( (0, 0) \) et \( (2, 4) \).
2. **Étape 2** : Exprimer les fonctions en termes de \( y \).
- La parabole \( y^2 = 8x \) peut être exprimée comme :
\[
x = \frac{y^2}{8}
\]
- La droite \( y = 2x \) peut être exprimée comme :
\[
x = \frac{y}{2}
\]
3. **Étape 3** : Calculer l'aire en intégrant la différence entre les deux fonctions sur l'intervalle \( y = 0 \) à \( y = 4 \).
- L'aire \( A \) est donnée par :
\[
A = \int_{0}^{4} \left( \frac{y}{2} - \frac{y^2}{8} \right) dy
\]
4. **Étape 4** : Calculer l'intégrale.
\[
A = \int_{0}^{4} \left( \frac{y}{2} - \frac{y^2}{8} \right) dy
\]
\[
A = \left[ \frac{y^2}{4} - \frac{y^3}{24} \right]_{0}^{4}
\]
\[
A = \left( \frac{16}{4} - \frac{64}{24} \right) - \left( 0 - 0 \right)
\]
\[
A = 4 - \frac{8}{3}
\]
\[
A = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
\]
L'aire délimitée par la parabole \( y^2 = 8x \) et la droite \( y = 2x \) est :
\[
\boxed{A = \frac{4}{3}}
\]
