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    • \[ \text{[Exemple :]} \]

      Si l'aire délimitée par \( y = ax^2 \) et \( x = ay^2 \), \( a > 0 \), est 1, alors \( a \) est

      (a) 1

      (b) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)

      (c) \( \frac{1}{3} \)

      (d) \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \)

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]       (b) La coordonnée \( x \) de \( A \) est \( \frac{1}{a} \).

      Selon la condition donnée,
      \[
      1 = \int_{0}^{a} \left( \frac{x}{a} - ax^2 \right) dx = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{\frac{3}{a}} \right]_0^1 - \frac{a}{3} \left[ x^{3/4} \right]_0^a
      \]
      \[
      \Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt{3}}
      \]

      -  Volumes et Surfaces des Solides de Révolution :

      Si une courbe plane est tournée autour d'un axe dans le plan de la courbe, alors le corps ainsi généré est connu sous le nom de solide de révolution. La surface générée par le périmètre de la courbe est connue sous le nom de surface de révolution, et le volume généré par l'aire est appelé volume de révolution.

      Par exemple, un triangle rectangle tourné autour d'un de ses côtés (formant l'angle droit) génère un cône circulaire droit.

      - (i) Volumes des solides de révolution : 

      (i) Le volume du solide généré par la révolution, autour de l'axe des \( x \), de l'aire délimitée par la courbe \( y = f(x) \), les ordonnées en \( x = a \), \( x = b \) et l'axe des \( x \) est égal à
      \[
      \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx.
      \]

      (ii) La révolution de l'aire située entre la courbe \( x = f(y) \), l'axe des \( y \) et les droites \( y = a \) et \( y = b \) est donnée par (en échangeant \( x \) et \( y \) dans la formule ci-dessus)
      \[
      \int_{a}^{b} x \, dx.
      \]

      (iii) Si l'équation de la courbe génératrice est donnée par \( x = f_1(t) \) et \( y = f_2(t) \) et elle est tournée autour de l'axe des \( x \), alors la formule correspondant à \( \int_{a}^{b} x \, dx \) devient
      \[
      \int_{f_1}^{f_2} \pi \left\{ f_2(t) \right\}^2 d \left\{ f_1(t) \right\},
      \]
      où \( f_1 \) et \( f_2 \) sont les valeurs de \( t \) correspondant à \( x = a \) et \( x = b \).

      (iv) Si la courbe est donnée par une équation en coordonnées polaires, disons \( r = f(\theta) \), et la courbe tourne autour de la ligne initiale, le volume généré est
      \[
      \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx = \pi \int_{\alpha}^{\beta} y^2 \left( \frac{dx}{d\theta} \right) d\theta,
      \]
      où \( \alpha \) et \( \beta \) sont les valeurs de \( \theta \) correspondant à \( x = a \) et \( x = b \).