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    • - Aire sous les courbes : 

      Maintenant, \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \). Par conséquent, le volume est donné par
      \[
      \pi \int_{\alpha}^{\beta} r^3 \sin^2 \theta \frac{d}{d\theta} (r \cos \theta) d\theta
      \]

      (v) Si la courbe génératrice tourne autour d'une ligne AB (différente des axes), alors le volume de révolution est: 

      \[
      \text{Vol.} : \quad \square \quad \text{Le volume du solide généré en faisant tourner l'aire délimitée par la courbe} \quad r = f(\theta) \quad \text{et les rayons vecteurs} \quad \theta = \alpha \quad \text{et} \quad \theta = \beta \quad \text{autour de la ligne initiale est} \quad \frac{2}{3} \pi \int_{\alpha}^{\beta} r^3 \sin \theta d\theta.
      \]

      \[
      \square \quad \text{Le volume dans le cas où l'aire ci-dessus est tournée autour de la ligne} \quad \theta = \frac{\pi}{2} \quad \text{est} \quad \frac{2}{3} \pi \int_{\alpha}^{\beta} r^3 \cos \theta d\theta.
      \]

      - (2) Aire des surfaces de révolution : 

      (i) La surface courbe du solide généré par la révolution, autour de l'axe des \( x \), de l'aire délimitée par la courbe \( y = f(x) \), les ordonnées en \( x = a \), \( x = b \) et l'axe des \( x \) est égale à
      \[
      2\pi \int_{x=a}^{x=b} y \, ds.
      \]

      (ii) Si l'arc de la courbe \( y = f(x) \) tourne autour de l'axe des \( y \), alors l'aire de la surface de révolution (entre les limites appropriées) est
      \[
      2\pi \int x \, ds, \quad \text{où} \quad ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx.
      \]

      (iii) Si l'équation de la courbe est donnée sous forme paramétrique \( x = f_1(t) \) et \( y = f_2(t) \), et que la courbe tourne autour de l'axe des \( x \), alors l'aire de la surface de révolution est
      \[
      2\pi \int_{t=l_1}^{t=l_2} y \, ds = 2\pi \int_{t=l_1}^{t=l_2} f_2(t) \, ds
      \]
      \[
      = 2\pi \int_{l_1}^{l_2} f_2(t) \left[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 \right] dt, \quad \text{où} \quad l_1 \quad \text{et} \quad l_2 \quad \text{sont les valeurs du paramètre} \quad t \quad \text{correspondant à} \quad x = a \quad \text{et} \quad x = b.
      \]

      (iv) Si l'équation de la courbe est donnée sous forme polaire, alors l'aire de la surface de révolution autour de l'axe des \( x \) est
      \[
      2\pi \int y \, ds = 2\pi \int (r \sin \theta) \frac{dS}{d\theta} d\theta = 2\pi \int r \sin \theta \left[ \sqrt{r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} \right] d\theta
      \]
      entre les limites appropriées.