- Exemple:
La partie du cercle \( x^2 + y^2 = 9 \) entre \( y = 0 \) et \( y = 2 \) est tournée autour de l'axe des \( y \). Le volume du solide généré sera

(a) \( \frac{46}{3} \pi \) (b) \( 12\pi \) (c) \( 16\pi \) (d) \( 28\pi \)

\[
\boxed{ Solution  : }
\]  (a) La partie du cercle \( x^2 + y^2 = 9 \) entre \( y = 0 \) et \( y = 2 \) est tournée autour de l'axe des \( y \). Un tronc de sphère sera alors formé.

Le volume de ce tronc est donné par
\[
\int_0^2 x^2 \, dy = \pi \int_0^2 (9 - y^2) \, dy
\]
\[
= \pi \left[ 9y - \frac{1}{3} y^3 \right]_0^2 = \pi \left[ 9 \times 2 - \frac{1}{3} (2)^3 - (9 \times 0 - \frac{1}{3} \times 0) \right] = \frac{46}{3} \pi \quad \text{unités cubiques.}
\]

- Exemple : 

La partie de la droite \( y = x + 1 \) entre \( x = 2 \) et \( x = 3 \) est tournée autour de l'axe des \( x \). La surface courbe du solide ainsi généré est:

(a) \( \frac{37\pi}{3} \) (b) \( \frac{7\pi}{\sqrt{2}} \) (c) \( 37\pi \) (d) \( 7\pi\sqrt{2} \)

\[
\boxed{ Solution  : }
\]  (d) La surface courbe est donnée par
\[
\int_a^b 2\pi y \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx.
\]
On donne \( a = 2 \), \( b = 3 \) et \( y = x + 1 \). En dérivant par rapport à \( x \), on obtient
\[
\frac{dy}{dx} = 1.
\]
Par conséquent, la surface courbe est
\[
\int_2^3 2\pi (x + 1) \sqrt{1 + 1} \, dx = \int_2^3 2\pi (x + 1) \sqrt{2} \, dx = 2\sqrt{2}\pi \left[ \frac{(x + 1)^2}{2} \right]_2^3
\]
\[
= \sqrt{2}\pi \left[ (3 + 1)^2 - (2 + 1)^2 \right] = \sqrt{2}\pi (16 - 9) = 7\sqrt{2}\pi = 7\pi\sqrt{2}.
\]