Résoudre le système suivant :
\(
\begin{cases}
x + y = 4 \quad \text{(1)} \\
xy = 3 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\)
- Solution :
1. **Étape 1** : Exprimer \( y \) en fonction de \( x \) à partir de l'équation (1) :
\(
y = 4 - x \quad \text{(3)}
\)
2. **Étape 2** : Substituer \( y \) dans l'équation (2) :
\(
x(4 - x) = 3
\)
\(
4x - x^2 = 3
\)
\(
x^2 - 4x + 3 = 0
\)
3. **Étape 3** : Résoudre l'équation quadratique :
\(
x^2 - 4x + 3 = 0
\)
Le discriminant est :
\(
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4
\)
Les solutions sont :
\(
x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}
\)
\(
x_1 = 3 \quad \text{et} \quad x_2 = 1
\)
4. **Étape 4** : Trouver \( y \) pour chaque \( x \) :
- Si \( x = 3 \), alors \( y = 4 - 3 = 1 \).
- Si \( x = 1 \), alors \( y = 4 - 1 = 3 \).
Les solutions du système sont :
\(
\boxed{(x, y) = (3, 1) \quad \text{et} \quad (1, 3)}
\)