Résoudre le système suivant :
\(
\begin{cases}
x + y = -7 \quad \text{(1)} \\
xy = 10 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\)
- Résolution :
1. **Étape 1** : Exprimer \( y \) en fonction de \( x \) à partir de l'équation (1) :
\(
y = -7 - x \quad \text{(3)}
\)
2. **Étape 2** : Substituer \( y \) dans l'équation (2) :
\(
x(-7 - x) = 10
\)
\(
-7x - x^2 = 10
\)
\(
x^2 + 7x + 10 = 0
\)
3. **Étape 3** : Résoudre l'équation quadratique :
\(
x^2 + 7x + 10 = 0
\)
Le discriminant est :
\(
\Delta = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9
\)
Les solutions sont :
\(
x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2}
\)
\(
x_1 = -2 \quad \text{et} \quad x_2 = -5
\)
4. **Étape 4** : Trouver \( y \) pour chaque \( x \) :
- Si \( x = -2 \), alors \( y = -7 - (-2) = -5 \).
- Si \( x = -5 \), alors \( y = -7 - (-5) = -2 \).
Les solutions du système sont :
\(
\boxed{(x, y) = (-2, -5) \quad \text{et} \quad (-5, -2)}
\)