Résolution dans \( \mathbb{R}^3 \)}

Nous résolvons dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :

\[
(E) 
\begin{cases} 
2x + y + z = 1 \quad \text{(1)} \\ 
x + 2y + z = 2 \quad \text{(2)} \\ 
x + y + 2z = 4 \quad \text{(3)} 
\end{cases}
\]

- Résolution par élimination : 

1. **Étape 1** : Éliminer une variable en combinant les équations.

   - Soustraire l'équation (2) de l'équation (1) :
   \[
   (2x + y + z) - (x + 2y + z) = 1 - 2
   \]
   \[
   x - y = -1 \quad \text{(4)}
   \]

   - Soustraire l'équation (3) de l'équation (2) :
   \[
   (x + 2y + z) - (x + y + 2z) = 2 - 4
   \]
   \[
   y - z = -2 \quad \text{(5)}
   \]

2. **Étape 2** : Résoudre le sous-système formé par les équations (4) et (5).

   - De l'équation (4), exprimer \( x \) en fonction de \( y \) :
   \[
   x = y - 1 \quad \text{(6)}
   \]

   - De l'équation (5), exprimer \( y \) en fonction de \( z \) :
   \[
   y = z - 2 \quad \text{(7)}
   \]

3. **Étape 3** : Substituer \( y \) et \( x \) dans l'une des équations originales pour trouver \( z \).

   - Substituer \( y = z - 2 \) dans l'équation (6) :
   \[
   x = (z - 2) - 1 = z - 3 \quad \text{(8)}
   \]

   - Substituer \( x = z - 3 \) et \( y = z - 2 \) dans l'équation (3) :
   \[
   (z - 3) + (z - 2) + 2z = 4
   \]
   \[
   4z - 5 = 4
   \]
   \[
   4z = 9
   \]
   \[
   z = \frac{9}{4}
   \]

4. **Étape 4** : Trouver \( y \) et \( x \) à partir de \( z \).

   - De l'équation (7) :
   \[
   y = \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}
   \]

   - De l'équation (8) :
   \[
   x = \frac{9}{4} - 3 = \frac{9}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{3}{4}
   \]

- La solution du système est :
\[
\boxed{ (x, y, z) = \left( -\frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{9}{4} \right)}
\]