Résolution dans \( \mathbb{R}^3 \)
Nous résolvons dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
\(
(E)
\begin{cases}
2x - 3y = 2 \quad \text{(1)} \\
y + 3z = 17 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\)
- Résolution :
1. **Étape 1** : Exprimer \( y \) en fonction de \( x \) à partir de l'équation (1).
- De l'équation (1) :
\(
2x - 3y = 2
\)
\(
-3y = 2 - 2x
\)
\(
y = \frac{2x - 2}{3} \quad \text{(3)}
\)
2. **Étape 2** : Exprimer \( z \) en fonction de \( y \) à partir de l'équation (2).
- De l'équation (2) :
\(
y + 3z = 17
\)
\(
3z = 17 - y
\)
\(
z = \frac{17 - y}{3} \quad \text{(4)}
\)
3. **Étape 3** : Substituer \( y \) de l'équation (3) dans l'équation (4).
- Substituer \( y = \frac{2x - 2}{3} \) dans l'équation (4) :
\(
z = \frac{17 - \left( \frac{2x - 2}{3} \right)}{3}
\)
\(
z = \frac{17 \cdot 3 - (2x - 2)}{9}
\)
\(
z = \frac{51 - 2x + 2}{9}
\)
\(
z = \frac{53 - 2x}{9}
\)
4. **Étape 4** : Exprimer les solutions en fonction d'un paramètre libre.
- Le système est sous-déterminé, donc nous exprimons les solutions en fonction de \( x \), qui est un paramètre libre.
- Les solutions sont :
\(
\begin{cases}
x = x \quad \text{(paramètre libre)} \\
y = \frac{2x - 2}{3} \\
z = \frac{53 - 2x}{9}
\end{cases}
\)
Les solutions du système sont paramétrées par \( x \in \mathbb{R} \) :
\(
\boxed{(x, y, z) = \left( x, \frac{2x - 2}{3}, \frac{53 - 2x}{9} \right)}
\)