Les équations avec fractions impliquent des expressions où des variables ou des constantes apparaissent au numérateur ou au dénominateur. Pour résoudre ces équations, il est souvent nécessaire de manipuler les fractions en utilisant des techniques telles que la réduction au même dénominateur, la simplification ou la multiplication croisée.

 Exemples :

Exemple 1 : Équation simple avec une fraction 

Résoudre l'équation suivante :
\[
\frac{x}{2} + 3 = 7
\]

Solution : 
\[
\frac{x}{2} + 3 = 7
\]
\[
\frac{x}{2} = 7 - 3
\]
\[
\frac{x}{2} = 4
\]
\[
x = 4 \times 2
\]
\[
x = 8
\]

 Exemple 2 : Équation avec plusieurs fractions 

Résoudre l'équation suivante :
\[
\frac{x + 1}{3} = \frac{2x - 1}{4}
\]

Solution : 
\[
\frac{x + 1}{3} = \frac{2x - 1}{4}
\]
Multiplier les deux côtés par 12 (le PPCM de 3 et 4) pour éliminer les dénominateurs :
\[
12 \times \frac{x + 1}{3} = 12 \times \frac{2x - 1}{4}
\]
\[
4(x + 1) = 3(2x - 1)
\]
\[
4x + 4 = 6x - 3
\]
\[
4x - 6x = -3 - 4
\]
\[
-2x = -7
\]
\[
x = \frac{7}{2}
\]

Exemple 3 : Équation avec des fractions complexes 

Résoudre l'équation suivante :
\[
\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = 5
\]

Solution :
\[
\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = 5
\]
Multiplier les deux côtés par \( x(x + 1) \) pour éliminer les dénominateurs :
\[
x(x + 1) \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} \right) = 5x(x + 1)
\]
\[
2(x + 1) + 3x = 5x(x + 1)
\]
\[
2x + 2 + 3x = 5x^2 + 5x
\]
\[
5x + 2 = 5x^2 + 5x
\]
\[
5x + 2 - 5x - 5x^2 = 0
\]
\[
-5x^2 + 2 = 0
\]
\[
5x^2 = 2
\]
\[
x^2 = \frac{2}{5}
\]
\[
x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}
\]

Les équations avec fractions peuvent sembler complexes, mais en utilisant des techniques comme la réduction au même dénominateur ou la multiplication croisée, elles peuvent être résolues de manière systématique. Il est important de vérifier les solutions obtenues pour s'assurer qu'elles ne rendent aucun dénominateur égal à zéro.