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  • Select activity Introduction

    Les équations avec fractions impliquent des expressions où des variables ou des constantes apparaissent au numérateur ou au dénominateur. Pour résoudre ces équations, il est souvent nécessaire de manipuler les fractions en utilisant des techniques telles que la réduction au même dénominateur, la simplification ou la multiplication croisée.

     Exemples :

    Exemple 1 : Équation simple avec une fraction 

    Résoudre l'équation suivante :
    \[
    \frac{x}{2} + 3 = 7
    \]

    Solution : 
    \[
    \frac{x}{2} + 3 = 7
    \]
    \[
    \frac{x}{2} = 7 - 3
    \]
    \[
    \frac{x}{2} = 4
    \]
    \[
    x = 4 \times 2
    \]
    \[
    x = 8
    \]

     Exemple 2 : Équation avec plusieurs fractions 

    Résoudre l'équation suivante :
    \[
    \frac{x + 1}{3} = \frac{2x - 1}{4}
    \]

    Solution : 
    \[
    \frac{x + 1}{3} = \frac{2x - 1}{4}
    \]
    Multiplier les deux côtés par 12 (le PPCM de 3 et 4) pour éliminer les dénominateurs :
    \[
    12 \times \frac{x + 1}{3} = 12 \times \frac{2x - 1}{4}
    \]
    \[
    4(x + 1) = 3(2x - 1)
    \]
    \[
    4x + 4 = 6x - 3
    \]
    \[
    4x - 6x = -3 - 4
    \]
    \[
    -2x = -7
    \]
    \[
    x = \frac{7}{2}
    \]

    Exemple 3 : Équation avec des fractions complexes 

    Résoudre l'équation suivante :
    \[
    \frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = 5
    \]

    Solution :
    \[
    \frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = 5
    \]
    Multiplier les deux côtés par \( x(x + 1) \) pour éliminer les dénominateurs :
    \[
    x(x + 1) \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} \right) = 5x(x + 1)
    \]
    \[
    2(x + 1) + 3x = 5x(x + 1)
    \]
    \[
    2x + 2 + 3x = 5x^2 + 5x
    \]
    \[
    5x + 2 = 5x^2 + 5x
    \]
    \[
    5x + 2 - 5x - 5x^2 = 0
    \]
    \[
    -5x^2 + 2 = 0
    \]
    \[
    5x^2 = 2
    \]
    \[
    x^2 = \frac{2}{5}
    \]
    \[
    x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}
    \]

    Les équations avec fractions peuvent sembler complexes, mais en utilisant des techniques comme la réduction au même dénominateur ou la multiplication croisée, elles peuvent être résolues de manière systématique. Il est important de vérifier les solutions obtenues pour s'assurer qu'elles ne rendent aucun dénominateur égal à zéro.

• Select section Résolution de l'équation

  Résolution de l'équation

  • Select activity Résolution de l'équation avec fractions

    Résolution de l'équation avec fractions :

    On cherche à résoudre l’équation suivante :

    \[
    \frac{3x - 1}{x + 1} = \frac{6x - 3}{3x + 3}
    \]

    1. Ensemble de résolution:

    Pour que l'équation soit définie, les dénominateurs ne doivent pas être nuls. Ainsi, on a les conditions suivantes :

    \[
    x + 1 \neq 0 \quad \text{et} \quad 3x + 3 \neq 0
    \]
    \[
    x \neq -1
    \]

    L’ensemble de résolution de l’équation est donc :
    \[
    \mathbb{R} \setminus \{-1\}
    \]

    2. Résolution de l'équation :

    On commence par simplifier l'équation :

    \[
    \frac{3x - 1}{x + 1} = \frac{6x - 3}{3x + 3}
    \]

    On remarque que \( 3x + 3 = 3(x + 1) \), donc l'équation devient :

    \[
    \frac{3x - 1}{x + 1} = \frac{6x - 3}{3(x + 1)}
    \]

    On peut simplifier le membre de droite en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 :

    \[
    \frac{3x - 1}{x + 1} = \frac{2x - 1}{x + 1}
    \]

    Maintenant, les deux côtés de l'équation ont le même dénominateur. On peut donc écrire :

    \[
    3x - 1 = 2x - 1
    \]

    En résolvant cette équation :

    \[
    3x - 2x = -1 + 1
    \]
    \[
    x = 0
    \]

    On vérifie que \( x = 0 \) ne rend aucun dénominateur nul :

    \[
    x + 1 = 1 \neq 0 \quad \text{et} \quad 3x + 3 = 3 \neq 0
    \]

    Ainsi, \( x = 0 \) est une solution valide.

    L’ensemble des solutions de l’équation est :
    \[
    \boxed{S = \{0\}}
    \]

  • Select activity Pour chacune des équations suivantes, donner l’ens...

    Pour chacune des équations suivantes, donner l’ensemble de résolution de l’équation, puis résoudre l’équation :

    a. 

    \[
    \frac{9x^2 + 6x + 1}{x - 1} = 0
    \]

    Ensemble de résolution :

    Le dénominateur ne doit pas être nul :
    \[
    x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1
    \]
    L’ensemble de résolution est :
    \[
    \mathbb{R} \setminus \{1\}
    \]

    Résolution :

    Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. Ainsi :
    \[
    9x^2 + 6x + 1 = 0
    \]
    On reconnaît une identité remarquable :
    \[
    (3x + 1)^2 = 0 \implies 3x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{3}
    \]
    Vérification : \( x = -\frac{1}{3} \neq 1 \), donc la solution est valide.

    Solution finale :
    \[
    S = \left\{ -\frac{1}{3} \right\}
    \]

    b. 

    \[
    \frac{1 - x}{3x + 2} - \frac{1}{2(x + 1)} = 0
    \]

    Ensemble de résolution :

    Les dénominateurs ne doivent pas être nuls :
    \[
    3x + 2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3}
    \]
    \[
    2(x + 1) \neq 0 \implies x \neq -1
    \]
    L’ensemble de résolution est :
    \[
    \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{2}{3}, -1 \right\}
    \]

    Résolution :

    On commence par mettre les fractions au même dénominateur :
    \[
    \frac{1 - x}{3x + 2} = \frac{1}{2(x + 1)}
    \]
    On multiplie les deux côtés par \( 2(x + 1)(3x + 2) \) pour éliminer les dénominateurs :
    \[
    2(x + 1)(1 - x) = (3x + 2)
    \]
    \[
    2(1 - x^2) = 3x + 2
    \]
    \[
    2 - 2x^2 = 3x + 2
    \]
    \[
    -2x^2 - 3x = 0
    \]
    \[
    x(-2x - 3) = 0
    \]
    Les solutions sont :
    \[
    x = 0 \quad \text{ou} \quad -2x - 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{2}
    \]
    Vérification : \( x = 0 \) et \( x = -\frac{3}{2} \) ne sont pas exclus de l'ensemble de résolution.

    Solution finale :
    \[
    S = \left\{ 0, -\frac{3}{2} \right\}
    \]

    c. 

    \[
    \frac{1}{2x + 1} = \frac{1}{3 - x}
    \]

    Ensemble de résolution :

    Les dénominateurs ne doivent pas être nuls :
    \[
    2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}
    \]
    \[
    3 - x \neq 0 \implies x \neq 3
    \]
    L’ensemble de résolution est :
    \[
    \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2}, 3 \right\}
    \]

    Résolution :

    On multiplie les deux côtés par \( (2x + 1)(3 - x) \) pour éliminer les dénominateurs :
    \[
    3 - x = 2x + 1
    \]
    \[
    3 - 1 = 2x + x
    \]
    \[
    2 = 3x \implies x = \frac{2}{3}
    \]
    Vérification : \( x = \frac{2}{3} \) n'est pas exclu de l'ensemble de résolution.

    Solution finale :
    \[
    S = \left\{ \frac{2}{3} \right\}
    \]

    d. 

    \[
    \frac{x^2 - 9}{x^2 - 1} = 0
    \]

    Ensemble de résolution :

    Le dénominateur ne doit pas être nul :
    \[
    x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \quad \text{et} \quad x \neq -1
    \]
    L’ensemble de résolution est :
    \[
    \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \}
    \]

    Résolution :

    Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. Ainsi :
    \[
    x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3
    \]
    Vérification : \( x = 3 \) et \( x = -3 \) ne sont pas exclus de l'ensemble de résolution.

    
    \[
    S = \{ -3, 3 \}
    \]

  • Select activity Résoudre l’équation suivante : \[\frac{2x - 2}{x -...

    Résoudre l’équation suivante :  
    \[
    \frac{2x - 2}{x - 1} = \frac{3x + 3}{2x + 1}
    \]

    Correction:

    Afin que les dénominateurs des quotients ne s’annulent pas, cette équation est définie sur :  
    \[
    \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2}, 1 \right\}
    \]

    Résolvons cette équation :

    \[
    \frac{2x - 2}{x - 1} = \frac{3x + 3}{2x + 1}
    \]

    D’après le produit en croix, on a :  
    \[
    (2x - 2)(2x + 1) = (3x + 3)(x - 1)
    \]

    Développons les deux côtés de l'équation :
    \[
    4x^2 + 2x - 4x - 2 = 3x^2 - 3x + 3x - 3
    \]
    \[
    4x^2 - 2x - 2 = 3x^2 - 3
    \]

    Simplifions l'équation :
    \[
    4x^2 - 2x - 2 - 3x^2 + 3 = 0
    \]
    \[
    x^2 - 2x + 1 = 0
    \]

    Factorisons l'équation :
    \[
    (x - 1)^2 = 0
    \]

    La solution est :
    \[
    x = 1
    \]

    Cependant, \( x = 1 \) ne fait pas partie de l’ensemble de définition de l’équation de départ. Ainsi, cette équation n’admet pas de solution.

• Select section Résolution de l'équation

  Résolution de l'équation

  • Select activity Résoudre les équations suivantes

    Résoudre les équations suivantes : 

    a.

    \[
    \frac{-3x - 3}{3x + 4} + \frac{2x + 2}{2x + 1} = 0
    \]

    ---

    b.

    \[
    \frac{3 - x}{4x + 3} + \frac{2x - 3}{3x + 3} = 0
    \]

    ---

    c.

    \[
    \frac{2x - 3}{3x + 1} + \frac{3 - 2x}{x + 4} = 0
    \]

    ---

    d.

    \[
    \frac{x - 3}{x + 2} + \frac{x + 2}{3x + 1} = 0
    \]

    ---

    Correction:

    a.

    \[
    \frac{-3x - 3}{3x + 4} + \frac{2x + 2}{2x + 1} = 0
    \]

    On met les fractions au même dénominateur :

    \[
    \frac{(-3x - 3)(2x + 1)}{(3x + 4)(2x + 1)} + \frac{(2x + 2)(3x + 4)}{(2x + 1)(3x + 4)} = 0
    \]

    On combine les fractions :

    \[
    \frac{(-3x - 3)(2x + 1) + (2x + 2)(3x + 4)}{(3x + 4)(2x + 1)} = 0
    \]

    On développe les numérateurs :

    \[
    (-6x^2 - 3x - 6x - 3) + (6x^2 + 8x + 6x + 8) = 0
    \]

    On simplifie :

    \[
    -6x^2 - 9x - 3 + 6x^2 + 14x + 8 = 0
    \]

    \[
    5x + 5 = 0
    \]

    On résout pour \( x \) :

    \[
    5x = -5 \implies x = -1
    \]

    Vérification : \( x = -1 \) ne rend aucun dénominateur nul.

    \subsubsection*{Solution finale}
    \[
    S = \{-1\}
    \]

    ---

    b.

    \[
    \frac{3 - x}{4x + 3} + \frac{2x - 3}{3x + 3} = 0
    \]

    On met les fractions au même dénominateur :

    \[
    \frac{(3 - x)(3x + 3)}{(4x + 3)(3x + 3)} + \frac{(2x - 3)(4x + 3)}{(3x + 3)(4x + 3)} = 0
    \]

    On combine les fractions :

    \[
    \frac{(3 - x)(3x + 3) + (2x - 3)(4x + 3)}{(3x + 3)(4x + 3)} = 0
    \]

    On développe les numérateurs :

    \[
    (9x + 9 - 3x^2 - 3x) + (8x^2 + 6x - 12x - 9) = 0
    \]

    On simplifie :

    \[
    -3x^2 + 6x + 9 + 8x^2 - 6x - 9 = 0
    \]

    \[
    5x^2 = 0
    \]

    On résout pour \( x \) :

    \[
    x^2 = 0 \implies x = 0
    \]

    Vérification : \( x = 0 \) ne rend aucun dénominateur nul.

    Solution finale:
    \[
    S = \{0\}
    \]

    ---

    c.

    \[
    \frac{2x - 3}{3x + 1} + \frac{3 - 2x}{x + 4} = 0
    \]

    On met les fractions au même dénominateur :

    \[
    \frac{(2x - 3)(x + 4)}{(3x + 1)(x + 4)} + \frac{(3 - 2x)(3x + 1)}{(x + 4)(3x + 1)} = 0
    \]

    On combine les fractions :

    \[
    \frac{(2x - 3)(x + 4) + (3 - 2x)(3x + 1)}{(3x + 1)(x + 4)} = 0
    \]

    On développe les numérateurs :

    \[
    (2x^2 + 8x - 3x - 12) + (9x + 3 - 6x^2 - 2x) = 0
    \]

    On simplifie :

    \[
    2x^2 + 5x - 12 - 6x^2 + 7x + 3 = 0
    \]

    \[
    -4x^2 + 12x - 9 = 0
    \]

    On résout pour \( x \) :

    \[
    4x^2 - 12x + 9 = 0
    \]

    \[
    (2x - 3)^2 = 0 \implies x = \frac{3}{2}
    \]

    Vérification : \( x = \frac{3}{2} \) ne rend aucun dénominateur nul.

    \subsubsection*{Solution finale}
    \[
    S = \left\{ \frac{3}{2} \right\}
    \]

    ---

    d.

    \[
    \frac{x - 3}{x + 2} + \frac{x + 2}{3x + 1} = 0
    \]

    On met les fractions au même dénominateur :

    \[
    \frac{(x - 3)(3x + 1)}{(x + 2)(3x + 1)} + \frac{(x + 2)(x + 2)}{(3x + 1)(x + 2)} = 0
    \]

    On combine les fractions :

    \[
    \frac{(x - 3)(3x + 1) + (x + 2)^2}{(x + 2)(3x + 1)} = 0
    \]

    On développe les numérateurs :

    \[
    (3x^2 + x - 9x - 3) + (x^2 + 4x + 4) = 0
    \]

    On simplifie :

    \[
    3x^2 - 8x - 3 + x^2 + 4x + 4 = 0
    \]

    \[
    4x^2 - 4x + 1 = 0
    \]

    On résout pour \( x \) :

    \[
    (2x - 1)^2 = 0 \implies x = \frac{1}{2}
    \]

    Vérification : \( x = \frac{1}{2} \) ne rend aucun dénominateur nul.

    Solution finale:
    \[
    S = \left\{ \frac{1}{2} \right\}
    \]

    \[
    \frac{2x-3}{3x+1} + \frac{3-2x}{x+4} = 0
    \]

    \[
    \frac{(2x-3)(x+4)}{(3x+1)(x+4)} + \frac{(3-2x)(3x+1)}{(x+4)(3x+1)} = 0
    \]

    \[
    \frac{(2x-3)(x+4) + (3-2x)(3x+1)}{(x+4)(3x+1)} = 0
    \]

    \[
    \frac{(2x-3)(x+4) + [-2x-3])(3x+1)}{(x+4)(3x+1)} = 0
    \]

    \[
    \frac{(2x-3)(x+4)-(2x-3)(3x+1)}{(x+4)(3x+1)} = 0
    \]

    \[
    \frac{(2x-3)[(x+4)-(3x+1)]}{(x+4)(3x+1)} = 0
    \]

    \[
    \frac{(2x-3)(x+4-3x-1)}{(x+4)(3x+1)} = 0
    \]

    \[
    \frac{(2x-3)(-2x+3)}{(x+4)(3x+1)} = 0
    \]

    \[
    \frac{(2x-3)[-(2x-3)]}{(x+4)(3x+1)} = 0
    \]

    \[
    \frac{-(2x-3)^2}{(x+4)(3x+1)} = 0
    \]

    Si un quotient est nul alors son numérateur est nul :

    \[
    -(2x-3)^2 = 0
    \]

    Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.

    L’ensemble des solutions de cette équation est :

    \[
    S = \left\{ \frac{3}{2} \right\}
    \]

    d.

    \[
    \frac{x-3}{x+2} + \frac{x+2}{3x+1} = 0
    \]

    \[
    \frac{(x-3)(3x+1)}{(x+2)(3x+1)} + \frac{(x+2)(x+2)}{(3x+1)(x+2)} = 0
    \]

    \[
    \frac{(x-3)(3x+1)+(x+2)(x+2)}{(3x+1)(x+2)} = 0
    \]

    \[
    \frac{(3x^2+x-9x-3)+(x^2+4x+4)}{(3x+1)(x+2)} = 0
    \]

    \[
    \frac{3x^2-8x-3+x^2+4x+4}{(3x+1)(x+2)} = 0
    \]

    \[
    \frac{4x^2-4x+1}{(3x+1)(x+2)} = 0
    \]

    \[
    \frac{(2x-1)^2}{(3x+1)(x+2)} = 0
    \]

    Si un quotient est nul alors son numérateur est nul :

    \[
    (2x-1)^2 = 0
    \]

    \[
    2x-1 = 0
    \]

    \[
    2x = 1
    \]

    \[
    x = \frac{1}{2}
    \]

    Cette équation admet pour ensemble des solutions :

    \[
    S = \left\{ \frac{1}{2} \right\}
    \]

• Select section Factoriser les expressions

  Factoriser les expressions

  • Select activity Factoriser les expressions suivantes

    Factoriser les expressions suivantes :}

    
    a.
    \( (3x + 2)(5x - 1) - (2 - 10x)(2 - 4x) \)
        \[
        = (3x + 2)(5x - 1) - [-2(5x - 1)](2 - 4x)
        \]
        \[
        = (3x + 2)(5x - 1) + 2(5x - 1)(2 - 4x)
        \]
        \[
        = (5x - 1)[(3x + 2) + 2(2 - 4x)]
        \]
        \[
        = (5x - 1)(3x + 2 + 4 - 8x) = (5x - 1)(-5x + 6)
        \]

    ---

      b.
    \( (x + 3)(3x + 6) + (4x + 8)^2 \)
        \[
        = (x + 3)[3(x + 2)] + [4(x + 2)]^2
        \]
        \[
        = 3(x + 3)(x + 2) + 16(x + 2)^2
        \]
        \[
        = (x + 2)[3(x + 3) + 16(x + 2)]
        \]
        \[
        = (x + 2)(3x + 9 + 16x + 32) = (x + 2)(19x + 41)
        \]

    ---

    c.
    \( (2x + 3)(5x - 4) - (2x - 2)(6 - x) \)
        \[
        = (10x^2 - 8x + 15x - 12) - (12x - 2x^2 - 12 + 2x)
        \]
        \[
        = (10x^2 + 7x - 12) - (-2x^2 + 14x - 12)
        \]
        \[
        = 10x^2 + 7x - 12 + 2x^2 - 14x + 12
        \]
        \[
        = 12x^2 - 7x = x(12x - 7)
        \]

    ---

    d.
    \( (x - 3)(-3x - 3) - (2x + 2)(3 - 3x) \)
        \[
        = (-3x^2 - 3x + 9x + 9) - (6x - 6x^2 + 6 - 6x)
        \]
        \[
        = (-3x^2 + 6x + 9) - (-6x^2 + 6)
        \]
        \[
        = -3x^2 + 6x + 9 + 6x^2 - 6
        \]
        \[
        = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3(x + 1)^2
        \]

    ---

    
    e.
    \( (5x + 2)(4x - 3) = (2x - 1)(3 - 4x) \)
        \[
        (5x + 2)(4x - 3) - (2x - 1)[-(4x - 3)] = 0
        \]
        \[
        (5x + 2)(4x - 3) + (2x - 1)(4x - 3) = 0
        \]
        \[
        (4x - 3)[(5x + 2) + (2x - 1)] = 0
        \]
        \[
        (4x - 3)(7x + 1) = 0
        \]

        Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul :

        \[
        \begin{array}{|c|c|}
        \hline
        4x - 3 & 0 \\
        \hline
        4x = 3 & 0 \\
        \hline
        x = \frac{3}{4} & 0 \\
        \hline
        \end{array}
        \]

        L’ensemble des solutions est : \( S = \left\{ -\frac{1}{7}, \frac{3}{4} \right\} \)

    ---

     f.
    \( (2 - 3x)(2x - 4) + (10 - 5x)(3x - 1) = 0 \)
        \[
        (2 - 3x)[2(x - 2)] + [-5(x - 2)](3x - 1) = 0
        \]
        \[
        2(2 - 3x)(x - 2) - 5(x - 2)(3x - 1) = 0
        \]
        \[
        (x - 2)[2(2 - 3x) - 5(3x - 1)] = 0
        \]
        \[
        (x - 2)(4 - 6x - 15x + 5) = 0
        \]

        Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul :

        \[
        \begin{array}{|c|c|}
        \hline
        x - 2 & 0 \\
        \hline
        x = 2 & 0 \\
        \hline
        \end{array}
        \]

    
    c.}
    \[
    (x - 3)(2x - 3) = (2x - 2)(x + 3)
    \]
    \[
    (2x^2 - 3x - 6x + 9) - (2x^2 + 6x - 2x - 6) = 0
    \]
    \[
    2x^2 - 3x - 6x + 9 - 2x^2 - 6x + 2x + 6 = 0
    \]
    \[
    -13x + 15 = 0
    \]
    \[
    -13x = -15
    \]
    \[
    x = \frac{-15}{-13}
    \]
    \[
    x = \frac{15}{13}
    \]

    Cette équation admet pour ensemble des solutions :
    \[
    S = \left\{ \frac{15}{13} \right\}
    \]

    \subsection*{d.}
    \[
    (x - 3)(2x - 3) = (3 - 3x)(2x - 3)
    \]
    \[
    (x - 3)(2x - 3) - (3 - 3x)(2x - 3) = 0
    \]
    \[
    (2x^2 - 3x - 6x + 9) - (6x - 9 - 6x^2 + 9x) = 0
    \]
    \[
    2x^2 - 3x - 6x + 9 - 6x + 9 + 6x^2 - 9x = 0
    \]
    \[
    8x^2 - 3x - 24x + 18 = 0
    \]
    \[
    2(4x^2 - 12x + 9) = 0
    \]
    \[
    2(2x - 3)^2 = 0
    \]

    Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul :
    \[
    2x - 3 = 0
    \]
    \[
    2x = 3
    \]
    \[
    x = \frac{3}{2}
    \]

    Cette équation admet l’ensemble des solutions suivant :
    \[
    S = \left\{ \frac{3}{2} \right\}
    \]

    \subsection*{3. a.}
    \[
    \frac{x + 3}{3x + 2} = \frac{x - 2}{3x + 3}
    \]
    \[
    \frac{(x + 3)(3x + 3)}{(3x + 2)(3x + 3)} = \frac{(x - 2)(3x + 2)}{(3x + 3)(3x + 2)}
    \]
    \[
    \frac{3x^2 + 3x + 9x + 9}{(3x + 2)(3x + 3)} = \frac{3x^2 + 2x - 6x - 4}{(3x + 3)(3x + 2)}
    \]
    \[
    \frac{3x^2 + 12x + 9}{(3x + 2)(3x + 3)} - \frac{3x^2 - 4x - 4}{(3x + 3)(3x + 2)} = 0
    \]
    \[
    \frac{3x^2 + 12x + 9 - 3x^2 + 4x + 4}{(3x + 3)(3x + 2)} = 0
    \]
    \[
    \frac{16x + 13}{(3x + 3)(3x + 2)} = 0
    \]

    Si un quotient est nul alors son numérateur est nul :
    \[
    16x + 13 = 0
    \]
    \[
    16x = -13
    \]
    \[
    x = -\frac{13}{16}
    \]

    L’ensemble des solutions de cette équation est :
    \[
    S = \left\{ -\frac{13}{16} \right\}
    \]

    \subsection*{b.}
    \[
    \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 3}{2x + 3} = 0
    \]
    \[
    \frac{(x - 1)(2x + 3) + (x + 3)(x + 2)}{(x + 2)(2x + 3)} = 0
    \]
    \[
    \frac{(2x^2 + 3x - 2x - 3) + (x^2 + 2x + 3x + 6)}{(2x + 3)(x + 2)} = 0
    \]
    \[
    \frac{(2x^2 + x - 3) + (x^2 + 5x + 6)}{(2x + 3)(x + 2)} = 0
    \]
    \[
    \frac{3x^2 + 6x + 3}{(2x + 3)(x + 2)} = 0
    \]
    \[
    \frac{3(x^2 + 2x + 1)}{(2x + 3)(x + 2)} = 0
    \]
    \[
    \frac{3(x + 1)^2}{(2x + 3)(x + 2)} = 0
    \]

    Si un quotient est nul alors son numérateur est nul :
    \[
    3(x + 1)^2 = 0
    \]

    Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul :
    \[
    x + 1 = 0
    \]
    \[
    x = -1
    \]

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  Probleme

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    On veut réaliser, dans le patron ci-dessous une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont exprimées en \( cm \).

    
        - a.] Lorsque la boîte sera construite, le nombre \( x \) représentera quelle dimension ? La longueur, la largeur ou la hauteur ?

        - b.] Quelles valeurs peut prendre la variable \( x \) dans ce problème ?

        - c.] Donner l’expression du volume \( V(x) \) en fonction de la valeur de \( x \).
    
    Dans cette question, nous cherchons pour quelles valeurs de “\( x \)”, cette boîte possède un volume égal à \( 144 \, cm^3 \):

    
        - a.] Déterminer la valeur des réels de \( a \) et de \( b \) vérifiant la factorisation suivante :  
        \[
        4x^3 - 52x^2 + 160x - 144 = (a \cdot x + b)(2x - 4)^2
        \]

        - b.] En déduire les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( V(x) \) a pour valeur 144.

    ---

    
        - a.] Le nombre \( x \) représente la hauteur de la boîte.

        - b.] \( x \) étant une mesure de longueur, elle ne prend que des valeurs positives.  
        De plus, la longueur des deux marges de la largeur ne peut dépasser la longueur de la largeur : \( x \) doit être strictement inférieur à 5.  
        Dans le cas où \( x = 0 \) ou \( x = 5 \), notre boîte n’aurait pas de hauteur.  
        Ainsi, \( x \) appartient à l’intervalle \( ]0; 5[ \).

        - c.] On a les dimensions suivantes :  
     
            * * La longueur de la boîte mesure : \( 16 - 2x \);
            * * La largeur de la boîte mesure : \( 10 - 2x \);
            * * La hauteur de la boîte mesure \( x \).
    
        Son volume \( V(x) \) sera égal à \( (16 - 2x)(10 - 2x)x \).  
        Or :  
        \[
        (16 - 2x)(10 - 2x)x = (160 - 32x - 20x + 4x^2)x = (160 - 52x + 4x^2)x = 4x^3 - 52x^2 + 160x
        \]

    
        - a.] Le terme de droite de cette égalité peut s’écrire :  
        \[
        (a \cdot x + b)(2x - 4)^2 = (a \cdot x + b)(4x^2 - 16x + 16)
        \]
        En poursuivant ce développement, on obtiendra :  
    
            * * pour le terme du second degré : \( 4a \cdot x^3 \);
            * * pour le terme numérique : \( 16b = -144 \).
    
        Ces deux égalités permettent de choisir :  
        \[
        a = 1 \quad ; \quad b = -9
        \]
        Vérifions ces deux valeurs :  
        \[
        (x - 9)(2x - 4)^2 = (x - 9)(4x^2 - 16x + 16) = 4x^3 - 16x^2 + 16x - 36x^2 + 144x - 144 = 4x^3 - 52x^2 + 160x - 144
        \]

        - b.] Pour déterminer les valeurs de \( x \), cherchons les solutions de l’équation :  
        \[
        V(x) = 144
        \]
        \[
        4x^3 - 52x^2 + 160x = 144
        \]
        \[
        4x^3 - 52x^2 + 160x - 144 = 0
        \]
        D’après la factorisation précédente :  
        \[
        (x - 9)(2x - 4)^2 = 0
        \]
        Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.  
        Cette équation admet les deux solutions :  
        \[
        x = 2 \quad ; \quad x = 9
        \]
        La valeur 9 ne fait pas partie des valeurs possibles de l’inconnue \( x \): le volume de la boîte a un volume de \( 144 \, cm^3 \) seulement pour la valeur \( x = 2 \).