Résolution de l'équation avec fractions :

On cherche à résoudre l’équation suivante :

\[
\frac{3x - 1}{x + 1} = \frac{6x - 3}{3x + 3}
\]

1. Ensemble de résolution:

Pour que l'équation soit définie, les dénominateurs ne doivent pas être nuls. Ainsi, on a les conditions suivantes :

\[
x + 1 \neq 0 \quad \text{et} \quad 3x + 3 \neq 0
\]
\[
x \neq -1
\]

L’ensemble de résolution de l’équation est donc :
\[
\mathbb{R} \setminus \{-1\}
\]

2. Résolution de l'équation :

On commence par simplifier l'équation :

\[
\frac{3x - 1}{x + 1} = \frac{6x - 3}{3x + 3}
\]

On remarque que \( 3x + 3 = 3(x + 1) \), donc l'équation devient :

\[
\frac{3x - 1}{x + 1} = \frac{6x - 3}{3(x + 1)}
\]

On peut simplifier le membre de droite en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 :

\[
\frac{3x - 1}{x + 1} = \frac{2x - 1}{x + 1}
\]

Maintenant, les deux côtés de l'équation ont le même dénominateur. On peut donc écrire :

\[
3x - 1 = 2x - 1
\]

En résolvant cette équation :

\[
3x - 2x = -1 + 1
\]
\[
x = 0
\]

On vérifie que \( x = 0 \) ne rend aucun dénominateur nul :

\[
x + 1 = 1 \neq 0 \quad \text{et} \quad 3x + 3 = 3 \neq 0
\]

Ainsi, \( x = 0 \) est une solution valide.

L’ensemble des solutions de l’équation est :
\[
\boxed{S = \{0\}}
\]

Pour chacune des équations suivantes, donner l’ensemble de résolution de l’équation, puis résoudre l’équation :

a. 

\[
\frac{9x^2 + 6x + 1}{x - 1} = 0
\]

Ensemble de résolution :

Le dénominateur ne doit pas être nul :
\[
x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1
\]
L’ensemble de résolution est :
\[
\mathbb{R} \setminus \{1\}
\]

Résolution :

Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. Ainsi :
\[
9x^2 + 6x + 1 = 0
\]
On reconnaît une identité remarquable :
\[
(3x + 1)^2 = 0 \implies 3x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{3}
\]
Vérification : \( x = -\frac{1}{3} \neq 1 \), donc la solution est valide.

Solution finale :
\[
S = \left\{ -\frac{1}{3} \right\}
\]

b. 

\[
\frac{1 - x}{3x + 2} - \frac{1}{2(x + 1)} = 0
\]

Ensemble de résolution :

Les dénominateurs ne doivent pas être nuls :
\[
3x + 2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3}
\]
\[
2(x + 1) \neq 0 \implies x \neq -1
\]
L’ensemble de résolution est :
\[
\mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{2}{3}, -1 \right\}
\]

Résolution :

On commence par mettre les fractions au même dénominateur :
\[
\frac{1 - x}{3x + 2} = \frac{1}{2(x + 1)}
\]
On multiplie les deux côtés par \( 2(x + 1)(3x + 2) \) pour éliminer les dénominateurs :
\[
2(x + 1)(1 - x) = (3x + 2)
\]
\[
2(1 - x^2) = 3x + 2
\]
\[
2 - 2x^2 = 3x + 2
\]
\[
-2x^2 - 3x = 0
\]
\[
x(-2x - 3) = 0
\]
Les solutions sont :
\[
x = 0 \quad \text{ou} \quad -2x - 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{2}
\]
Vérification : \( x = 0 \) et \( x = -\frac{3}{2} \) ne sont pas exclus de l'ensemble de résolution.

Solution finale :
\[
S = \left\{ 0, -\frac{3}{2} \right\}
\]

c. 

\[
\frac{1}{2x + 1} = \frac{1}{3 - x}
\]

Ensemble de résolution :

Les dénominateurs ne doivent pas être nuls :
\[
2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}
\]
\[
3 - x \neq 0 \implies x \neq 3
\]
L’ensemble de résolution est :
\[
\mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2}, 3 \right\}
\]

Résolution :

On multiplie les deux côtés par \( (2x + 1)(3 - x) \) pour éliminer les dénominateurs :
\[
3 - x = 2x + 1
\]
\[
3 - 1 = 2x + x
\]
\[
2 = 3x \implies x = \frac{2}{3}
\]
Vérification : \( x = \frac{2}{3} \) n'est pas exclu de l'ensemble de résolution.

Solution finale :
\[
S = \left\{ \frac{2}{3} \right\}
\]

d. 

\[
\frac{x^2 - 9}{x^2 - 1} = 0
\]

Ensemble de résolution :

Le dénominateur ne doit pas être nul :
\[
x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \quad \text{et} \quad x \neq -1
\]
L’ensemble de résolution est :
\[
\mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \}
\]

Résolution :

Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. Ainsi :
\[
x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3
\]
Vérification : \( x = 3 \) et \( x = -3 \) ne sont pas exclus de l'ensemble de résolution.

\[
S = \{ -3, 3 \}
\]

Résoudre l’équation suivante :  
\[
\frac{2x - 2}{x - 1} = \frac{3x + 3}{2x + 1}
\]

Correction:

Afin que les dénominateurs des quotients ne s’annulent pas, cette équation est définie sur :  
\[
\mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2}, 1 \right\}
\]

Résolvons cette équation :

\[
\frac{2x - 2}{x - 1} = \frac{3x + 3}{2x + 1}
\]

D’après le produit en croix, on a :  
\[
(2x - 2)(2x + 1) = (3x + 3)(x - 1)
\]

Développons les deux côtés de l'équation :
\[
4x^2 + 2x - 4x - 2 = 3x^2 - 3x + 3x - 3
\]
\[
4x^2 - 2x - 2 = 3x^2 - 3
\]

Simplifions l'équation :
\[
4x^2 - 2x - 2 - 3x^2 + 3 = 0
\]
\[
x^2 - 2x + 1 = 0
\]

Factorisons l'équation :
\[
(x - 1)^2 = 0
\]

La solution est :
\[
x = 1
\]

Cependant, \( x = 1 \) ne fait pas partie de l’ensemble de définition de l’équation de départ. Ainsi, cette équation n’admet pas de solution.