Résoudre les équations suivantes :
a.
\[
\frac{-3x - 3}{3x + 4} + \frac{2x + 2}{2x + 1} = 0
\]
b.
\[
\frac{3 - x}{4x + 3} + \frac{2x - 3}{3x + 3} = 0
\]
c.
\[
\frac{2x - 3}{3x + 1} + \frac{3 - 2x}{x + 4} = 0
\]
d.
\[
\frac{x - 3}{x + 2} + \frac{x + 2}{3x + 1} = 0
\]
Correction:
a.
\[
\frac{-3x - 3}{3x + 4} + \frac{2x + 2}{2x + 1} = 0
\]
On met les fractions au même dénominateur :
\[
\frac{(-3x - 3)(2x + 1)}{(3x + 4)(2x + 1)} + \frac{(2x + 2)(3x + 4)}{(2x + 1)(3x + 4)} = 0
\]
On combine les fractions :
\[
\frac{(-3x - 3)(2x + 1) + (2x + 2)(3x + 4)}{(3x + 4)(2x + 1)} = 0
\]
On développe les numérateurs :
\[
(-6x^2 - 3x - 6x - 3) + (6x^2 + 8x + 6x + 8) = 0
\]
On simplifie :
\[
-6x^2 - 9x - 3 + 6x^2 + 14x + 8 = 0
\]
\[
5x + 5 = 0
\]
On résout pour \( x \) :
\[
5x = -5 \implies x = -1
\]
Vérification : \( x = -1 \) ne rend aucun dénominateur nul.
\subsubsection*{Solution finale}
\[
S = \{-1\}
\]
b.
\[
\frac{3 - x}{4x + 3} + \frac{2x - 3}{3x + 3} = 0
\]
On met les fractions au même dénominateur :
\[
\frac{(3 - x)(3x + 3)}{(4x + 3)(3x + 3)} + \frac{(2x - 3)(4x + 3)}{(3x + 3)(4x + 3)} = 0
\]
On combine les fractions :
\[
\frac{(3 - x)(3x + 3) + (2x - 3)(4x + 3)}{(3x + 3)(4x + 3)} = 0
\]
On développe les numérateurs :
\[
(9x + 9 - 3x^2 - 3x) + (8x^2 + 6x - 12x - 9) = 0
\]
On simplifie :
\[
-3x^2 + 6x + 9 + 8x^2 - 6x - 9 = 0
\]
\[
5x^2 = 0
\]
On résout pour \( x \) :
\[
x^2 = 0 \implies x = 0
\]
Vérification : \( x = 0 \) ne rend aucun dénominateur nul.
Solution finale:
\[
S = \{0\}
\]
c.
\[
\frac{2x - 3}{3x + 1} + \frac{3 - 2x}{x + 4} = 0
\]
On met les fractions au même dénominateur :
\[
\frac{(2x - 3)(x + 4)}{(3x + 1)(x + 4)} + \frac{(3 - 2x)(3x + 1)}{(x + 4)(3x + 1)} = 0
\]
On combine les fractions :
\[
\frac{(2x - 3)(x + 4) + (3 - 2x)(3x + 1)}{(3x + 1)(x + 4)} = 0
\]
On développe les numérateurs :
\[
(2x^2 + 8x - 3x - 12) + (9x + 3 - 6x^2 - 2x) = 0
\]
On simplifie :
\[
2x^2 + 5x - 12 - 6x^2 + 7x + 3 = 0
\]
\[
-4x^2 + 12x - 9 = 0
\]
On résout pour \( x \) :
\[
4x^2 - 12x + 9 = 0
\]
\[
(2x - 3)^2 = 0 \implies x = \frac{3}{2}
\]
Vérification : \( x = \frac{3}{2} \) ne rend aucun dénominateur nul.
\subsubsection*{Solution finale}
\[
S = \left\{ \frac{3}{2} \right\}
\]
d.
\[
\frac{x - 3}{x + 2} + \frac{x + 2}{3x + 1} = 0
\]
On met les fractions au même dénominateur :
\[
\frac{(x - 3)(3x + 1)}{(x + 2)(3x + 1)} + \frac{(x + 2)(x + 2)}{(3x + 1)(x + 2)} = 0
\]
On combine les fractions :
\[
\frac{(x - 3)(3x + 1) + (x + 2)^2}{(x + 2)(3x + 1)} = 0
\]
On développe les numérateurs :
\[
(3x^2 + x - 9x - 3) + (x^2 + 4x + 4) = 0
\]
On simplifie :
\[
3x^2 - 8x - 3 + x^2 + 4x + 4 = 0
\]
\[
4x^2 - 4x + 1 = 0
\]
On résout pour \( x \) :
\[
(2x - 1)^2 = 0 \implies x = \frac{1}{2}
\]
Vérification : \( x = \frac{1}{2} \) ne rend aucun dénominateur nul.
Solution finale:
\[
S = \left\{ \frac{1}{2} \right\}
\]
\[
\frac{2x-3}{3x+1} + \frac{3-2x}{x+4} = 0
\]
\[
\frac{(2x-3)(x+4)}{(3x+1)(x+4)} + \frac{(3-2x)(3x+1)}{(x+4)(3x+1)} = 0
\]
\[
\frac{(2x-3)(x+4) + (3-2x)(3x+1)}{(x+4)(3x+1)} = 0
\]
\[
\frac{(2x-3)(x+4) + [-2x-3])(3x+1)}{(x+4)(3x+1)} = 0
\]
\[
\frac{(2x-3)(x+4)-(2x-3)(3x+1)}{(x+4)(3x+1)} = 0
\]
\[
\frac{(2x-3)[(x+4)-(3x+1)]}{(x+4)(3x+1)} = 0
\]
\[
\frac{(2x-3)(x+4-3x-1)}{(x+4)(3x+1)} = 0
\]
\[
\frac{(2x-3)(-2x+3)}{(x+4)(3x+1)} = 0
\]
\[
\frac{(2x-3)[-(2x-3)]}{(x+4)(3x+1)} = 0
\]
\[
\frac{-(2x-3)^2}{(x+4)(3x+1)} = 0
\]
Si un quotient est nul alors son numérateur est nul :
\[
-(2x-3)^2 = 0
\]
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.
L’ensemble des solutions de cette équation est :
\[
S = \left\{ \frac{3}{2} \right\}
\]
d.
\[
\frac{x-3}{x+2} + \frac{x+2}{3x+1} = 0
\]
\[
\frac{(x-3)(3x+1)}{(x+2)(3x+1)} + \frac{(x+2)(x+2)}{(3x+1)(x+2)} = 0
\]
\[
\frac{(x-3)(3x+1)+(x+2)(x+2)}{(3x+1)(x+2)} = 0
\]
\[
\frac{(3x^2+x-9x-3)+(x^2+4x+4)}{(3x+1)(x+2)} = 0
\]
\[
\frac{3x^2-8x-3+x^2+4x+4}{(3x+1)(x+2)} = 0
\]
\[
\frac{4x^2-4x+1}{(3x+1)(x+2)} = 0
\]
\[
\frac{(2x-1)^2}{(3x+1)(x+2)} = 0
\]
Si un quotient est nul alors son numérateur est nul :
\[
(2x-1)^2 = 0
\]
\[
2x-1 = 0
\]
\[
2x = 1
\]
\[
x = \frac{1}{2}
\]
Cette équation admet pour ensemble des solutions :
\[
S = \left\{ \frac{1}{2} \right\}
\]
