Factoriser les expressions suivantes :}
a.
\( (3x + 2)(5x - 1) - (2 - 10x)(2 - 4x) \)
\[
= (3x + 2)(5x - 1) - [-2(5x - 1)](2 - 4x)
\]
\[
= (3x + 2)(5x - 1) + 2(5x - 1)(2 - 4x)
\]
\[
= (5x - 1)[(3x + 2) + 2(2 - 4x)]
\]
\[
= (5x - 1)(3x + 2 + 4 - 8x) = (5x - 1)(-5x + 6)
\]
b.
\( (x + 3)(3x + 6) + (4x + 8)^2 \)
\[
= (x + 3)[3(x + 2)] + [4(x + 2)]^2
\]
\[
= 3(x + 3)(x + 2) + 16(x + 2)^2
\]
\[
= (x + 2)[3(x + 3) + 16(x + 2)]
\]
\[
= (x + 2)(3x + 9 + 16x + 32) = (x + 2)(19x + 41)
\]
c.
\( (2x + 3)(5x - 4) - (2x - 2)(6 - x) \)
\[
= (10x^2 - 8x + 15x - 12) - (12x - 2x^2 - 12 + 2x)
\]
\[
= (10x^2 + 7x - 12) - (-2x^2 + 14x - 12)
\]
\[
= 10x^2 + 7x - 12 + 2x^2 - 14x + 12
\]
\[
= 12x^2 - 7x = x(12x - 7)
\]
d.
\( (x - 3)(-3x - 3) - (2x + 2)(3 - 3x) \)
\[
= (-3x^2 - 3x + 9x + 9) - (6x - 6x^2 + 6 - 6x)
\]
\[
= (-3x^2 + 6x + 9) - (-6x^2 + 6)
\]
\[
= -3x^2 + 6x + 9 + 6x^2 - 6
\]
\[
= 3x^2 + 6x + 3 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3(x + 1)^2
\]
e.
\( (5x + 2)(4x - 3) = (2x - 1)(3 - 4x) \)
\[
(5x + 2)(4x - 3) - (2x - 1)[-(4x - 3)] = 0
\]
\[
(5x + 2)(4x - 3) + (2x - 1)(4x - 3) = 0
\]
\[
(4x - 3)[(5x + 2) + (2x - 1)] = 0
\]
\[
(4x - 3)(7x + 1) = 0
\]
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
4x - 3 & 0 \\
\hline
4x = 3 & 0 \\
\hline
x = \frac{3}{4} & 0 \\
\hline
\end{array}
\]
L’ensemble des solutions est : \( S = \left\{ -\frac{1}{7}, \frac{3}{4} \right\} \)
f.
\( (2 - 3x)(2x - 4) + (10 - 5x)(3x - 1) = 0 \)
\[
(2 - 3x)[2(x - 2)] + [-5(x - 2)](3x - 1) = 0
\]
\[
2(2 - 3x)(x - 2) - 5(x - 2)(3x - 1) = 0
\]
\[
(x - 2)[2(2 - 3x) - 5(3x - 1)] = 0
\]
\[
(x - 2)(4 - 6x - 15x + 5) = 0
\]
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x - 2 & 0 \\
\hline
x = 2 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]
c.}
\[
(x - 3)(2x - 3) = (2x - 2)(x + 3)
\]
\[
(2x^2 - 3x - 6x + 9) - (2x^2 + 6x - 2x - 6) = 0
\]
\[
2x^2 - 3x - 6x + 9 - 2x^2 - 6x + 2x + 6 = 0
\]
\[
-13x + 15 = 0
\]
\[
-13x = -15
\]
\[
x = \frac{-15}{-13}
\]
\[
x = \frac{15}{13}
\]
Cette équation admet pour ensemble des solutions :
\[
S = \left\{ \frac{15}{13} \right\}
\]
\subsection*{d.}
\[
(x - 3)(2x - 3) = (3 - 3x)(2x - 3)
\]
\[
(x - 3)(2x - 3) - (3 - 3x)(2x - 3) = 0
\]
\[
(2x^2 - 3x - 6x + 9) - (6x - 9 - 6x^2 + 9x) = 0
\]
\[
2x^2 - 3x - 6x + 9 - 6x + 9 + 6x^2 - 9x = 0
\]
\[
8x^2 - 3x - 24x + 18 = 0
\]
\[
2(4x^2 - 12x + 9) = 0
\]
\[
2(2x - 3)^2 = 0
\]
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul :
\[
2x - 3 = 0
\]
\[
2x = 3
\]
\[
x = \frac{3}{2}
\]
Cette équation admet l’ensemble des solutions suivant :
\[
S = \left\{ \frac{3}{2} \right\}
\]
\subsection*{3. a.}
\[
\frac{x + 3}{3x + 2} = \frac{x - 2}{3x + 3}
\]
\[
\frac{(x + 3)(3x + 3)}{(3x + 2)(3x + 3)} = \frac{(x - 2)(3x + 2)}{(3x + 3)(3x + 2)}
\]
\[
\frac{3x^2 + 3x + 9x + 9}{(3x + 2)(3x + 3)} = \frac{3x^2 + 2x - 6x - 4}{(3x + 3)(3x + 2)}
\]
\[
\frac{3x^2 + 12x + 9}{(3x + 2)(3x + 3)} - \frac{3x^2 - 4x - 4}{(3x + 3)(3x + 2)} = 0
\]
\[
\frac{3x^2 + 12x + 9 - 3x^2 + 4x + 4}{(3x + 3)(3x + 2)} = 0
\]
\[
\frac{16x + 13}{(3x + 3)(3x + 2)} = 0
\]
Si un quotient est nul alors son numérateur est nul :
\[
16x + 13 = 0
\]
\[
16x = -13
\]
\[
x = -\frac{13}{16}
\]
L’ensemble des solutions de cette équation est :
\[
S = \left\{ -\frac{13}{16} \right\}
\]
\subsection*{b.}
\[
\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 3}{2x + 3} = 0
\]
\[
\frac{(x - 1)(2x + 3) + (x + 3)(x + 2)}{(x + 2)(2x + 3)} = 0
\]
\[
\frac{(2x^2 + 3x - 2x - 3) + (x^2 + 2x + 3x + 6)}{(2x + 3)(x + 2)} = 0
\]
\[
\frac{(2x^2 + x - 3) + (x^2 + 5x + 6)}{(2x + 3)(x + 2)} = 0
\]
\[
\frac{3x^2 + 6x + 3}{(2x + 3)(x + 2)} = 0
\]
\[
\frac{3(x^2 + 2x + 1)}{(2x + 3)(x + 2)} = 0
\]
\[
\frac{3(x + 1)^2}{(2x + 3)(x + 2)} = 0
\]
Si un quotient est nul alors son numérateur est nul :
\[
3(x + 1)^2 = 0
\]
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul :
\[
x + 1 = 0
\]
\[
x = -1
\]
