On veut réaliser, dans le patron ci-dessous une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont exprimées en \( cm \).
- a.] Lorsque la boîte sera construite, le nombre \( x \) représentera quelle dimension ? La longueur, la largeur ou la hauteur ?
- b.] Quelles valeurs peut prendre la variable \( x \) dans ce problème ?
- c.] Donner l’expression du volume \( V(x) \) en fonction de la valeur de \( x \).
Dans cette question, nous cherchons pour quelles valeurs de “\( x \)”, cette boîte possède un volume égal à \( 144 \, cm^3 \):
- a.] Déterminer la valeur des réels de \( a \) et de \( b \) vérifiant la factorisation suivante :
\[
4x^3 - 52x^2 + 160x - 144 = (a \cdot x + b)(2x - 4)^2
\]
- b.] En déduire les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( V(x) \) a pour valeur 144.
- a.] Le nombre \( x \) représente la hauteur de la boîte.
- b.] \( x \) étant une mesure de longueur, elle ne prend que des valeurs positives.
De plus, la longueur des deux marges de la largeur ne peut dépasser la longueur de la largeur : \( x \) doit être strictement inférieur à 5.
Dans le cas où \( x = 0 \) ou \( x = 5 \), notre boîte n’aurait pas de hauteur.
Ainsi, \( x \) appartient à l’intervalle \( ]0; 5[ \).
- c.] On a les dimensions suivantes :
* * La longueur de la boîte mesure : \( 16 - 2x \);
* * La largeur de la boîte mesure : \( 10 - 2x \);
* * La hauteur de la boîte mesure \( x \).
Son volume \( V(x) \) sera égal à \( (16 - 2x)(10 - 2x)x \).
Or :
\[
(16 - 2x)(10 - 2x)x = (160 - 32x - 20x + 4x^2)x = (160 - 52x + 4x^2)x = 4x^3 - 52x^2 + 160x
\]
- a.] Le terme de droite de cette égalité peut s’écrire :
\[
(a \cdot x + b)(2x - 4)^2 = (a \cdot x + b)(4x^2 - 16x + 16)
\]
En poursuivant ce développement, on obtiendra :
* * pour le terme du second degré : \( 4a \cdot x^3 \);
* * pour le terme numérique : \( 16b = -144 \).
Ces deux égalités permettent de choisir :
\[
a = 1 \quad ; \quad b = -9
\]
Vérifions ces deux valeurs :
\[
(x - 9)(2x - 4)^2 = (x - 9)(4x^2 - 16x + 16) = 4x^3 - 16x^2 + 16x - 36x^2 + 144x - 144 = 4x^3 - 52x^2 + 160x - 144
\]
- b.] Pour déterminer les valeurs de \( x \), cherchons les solutions de l’équation :
\[
V(x) = 144
\]
\[
4x^3 - 52x^2 + 160x = 144
\]
\[
4x^3 - 52x^2 + 160x - 144 = 0
\]
D’après la factorisation précédente :
\[
(x - 9)(2x - 4)^2 = 0
\]
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.
Cette équation admet les deux solutions :
\[
x = 2 \quad ; \quad x = 9
\]
La valeur 9 ne fait pas partie des valeurs possibles de l’inconnue \( x \): le volume de la boîte a un volume de \( 144 \, cm^3 \) seulement pour la valeur \( x = 2 \).