On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) dont l’image d’un nombre \( x \) est donnée par la relation :
\(
f(x) = -\frac{1}{2}(4x + 7)(x + 2) + x^2 + 4x + 7
\)
* *a.] Déterminer l’image du nombre \(-3\) par la fonction \( f \). Justifier votre réponse.
* *b.] Déterminer l’ensemble des antécédents du nombre \( 0 \) par la fonction \( f \). Justifier votre réponse.
* *a.] Développer l’expression :
\(
-\frac{1}{2}(4x + 7)(x + 2) + x^2 + 4x + 7
\)
* *b.] En déduire l’ensemble des solutions de l’équation \( f(x) = 0 \).
*3.}
* *a.] Factoriser l’expression \( x^2 + 4x + 4 \).
* *b.] En déduire la factorisation de l’expression :
\(
(-2x - \frac{7}{2})(x + 2) + x^2 + 4x + 4
\)
* *c.] En déduire l’ensemble des solutions de l’équation :
\(
f(x) = 3
\)
*1.}
* *a.] La droite d’équation \( x = -3 \) intercepte la courbe \( \mathcal{C}_f \) au point de coordonnées \(\left( -3; \frac{3}{2} \right)\). On en déduit que l’image du nombre \(-3\) est \(\frac{3}{2}\).
* *b.] La droite d’équation \( y = 0 \) intercepte la courbe \( \mathcal{C}_f \) aux points de coordonnées \(\left( -\frac{7}{2}; 0 \right)\) et \((0; 0)\). On en déduit que l’ensemble des antécédents du nombre \( 0 \) par la fonction \( f \) est :
\(
S = \left\{ -\frac{7}{2}; 0 \right\}.
\)
*2.}
* *a.] On a le développement suivant :
\(
-\frac{1}{2}(4x + 7)(x + 2) + x^2 + 4x + 7
\)
\(
= -\frac{1}{2}(4x^2 + 8x + 7x + 14) + x^2 + 4x + 7
\)
\( = -\frac{1}{2}(4x^2 + 15x + 14) + x^2 + 4x + 7 \)
\( = -2x^2 - \frac{15}{2}x - 7 + x^2 + 4x + 7 \)
\( = -x^2 - \frac{7}{2}x \)
* *b.] Pour résoudre \( f(x) = 0 \), on a :
\(
-x^2 - \frac{7}{2}x = 0
\)
\(
x(-x - \frac{7}{2}) = 0
\)
Les solutions sont \( x = 0 \) et \( x = -\frac{7}{2} \). Ainsi, l’ensemble des solutions est :
\(
S = \left\{ -\frac{7}{2}; 0 \right\}.
\)
*3.}
* *a.] La factorisation de \( x^2 + 4x + 4 \) est :
\(
x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
\)
* *b.] En utilisant cette factorisation, on peut réécrire l’expression :
\(
(-2x - \frac{7}{2})(x + 2) + x^2 + 4x + 4
\)
\(
= (-2x - \frac{7}{2})(x + 2) + (x + 2)^2
\)
\(
= (x + 2)\left[ -2x - \frac{7}{2} + x + 2 \right]
\)
\(
= (x + 2)\left[ -x - \frac{3}{2} \right]
\)
* *c.] Pour résoudre \( f(x) = 3 \), on a :
\(
-x^2 - \frac{7}{2}x = 3
\)
\(
-x^2 - \frac{7}{2}x - 3 = 0
\)
En multipliant par \(-1\) pour simplifier :
\(
x^2 + \frac{7}{2}x + 3 = 0
\)
Les solutions de cette équation quadratique peuvent être trouvées en utilisant la formule quadratique :
\(
x = \frac{ -\frac{7}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{7}{2} \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 } }{2}
\)
\(
x = \frac{ -\frac{7}{2} \pm \sqrt{ \frac{49}{4} - 12 } }{2}
\)
\(
x = \frac{ -\frac{7}{2} \pm \sqrt{ \frac{1}{4} } }{2}
\)
\(
x = \frac{ -\frac{7}{2} \pm \frac{1}{2} }{2}
\)
Les solutions sont \( x = -2 \) et \( x = -\frac{3}{2} \). Ainsi, l’ensemble des solutions est :
\(
S = \left\{ -2; -\frac{3}{2} \right\}.
\)
\(
\frac{1}{2}(4x+7)(x+2)+x^2+4x+7
\)
\(
=-\frac{1}{2}(4x^2+8x+7x+14)+x^2+4x+7
\)
\(
=-\frac{1}{2}(4x^2+15x+14)+x^2+4x+7
\)
\(
=-2x^2-\frac{15}{2}x-7+x^2+4x+7
\)
\(
=-x^2-\frac{7}{2}x
\)
*b. Résolvons l’équation suivante :}
\(
f(x)=0
\)
\(
-x^2-\frac{7}{2}x=0
\)
On a la factorisation suivante :
\(
-x\left(x+\frac{7}{2}\right)=0
\)
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul :
\(
x=0 \quad \text{ou} \quad x+\frac{7}{2}=0
\)
\(
x=0 \quad \text{ou} \quad x=-\frac{7}{2}
\)
L’ensemble des solutions de cette équation est :
\(
\mathcal{S}=\left\{-\frac{7}{2}; 0\right\}
\)
*3. a. En identifiant cette expression à une identité remarquable, on obtient la factorisation suivante :}
\(
x^2+4x+4=(x+2)^2
\)
*b. Factorisons cette expression :
\(
\left(-2x-\frac{7}{2}\right)(x+2)+x^2+4x+4
\)
D’après la factorisation précédente :
\(
=\left(-2x-\frac{7}{2}\right)(x+2)+(x+2)^2
\)
\(
=(x+2)\left[\left(-2x-\frac{7}{2}\right)+(x+2)\right]
\)
\(
=(x+2)\left(-x-\frac{3}{2}\right)
\)
*c. Résolvons l’équation :}
\(
f(x)=3
\)
\(
-\frac{1}{2}(4x+7)(x+2)+x^2+4x+7=3
\)
\(
-\frac{1}{2}(4x+7)(x+2)+x^2+4x+7-3=0
\)
\(
-\frac{1}{2}(4x+7)(x+2)+x^2+4x+4=0
\)
\(
\left(-2x-\frac{7}{2}\right)(x+2)+x^2+4x+4=0
\)
En utilisant la factorisation de la question précédente :
\(
(x+2)\left(-x-\frac{3}{2}\right)=0
\)
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.
\(
x+2=0\)
\(x=-2\)
\(
-x-\frac{3}{2}=0
\)
\(
-x=\frac{3}{2}
\)
\(
x=-\frac{3}{2}
\)
L’ensemble des solutions de cette équation est :
\( \mathcal{S}=\left\{-2; -\frac{3}{2}\right\} \)