Une fonction} est une relation qui associe chaque élément d'un ensemble de départ (appelé domaine) à exactement un élément d'un ensemble d'arrivée (appelé codomaine). Une fonction est souvent notée \( f \) et s'écrit sous la forme \( f(x) \), où \( x \) est la variable indépendante et \( f(x) \) est la valeur de la fonction en \( x \).
* *Domaine} : L'ensemble des valeurs que peut prendre la variable indépendante \( x \).
* *Codomaine} : L'ensemble des valeurs possibles que la fonction peut prendre.
* *Représentation graphique} : Une fonction peut être représentée graphiquement dans un plan cartésien, où l'axe des abscisses représente les valeurs de \( x \) et l'axe des ordonnées représente les valeurs de \( f(x) \).
Exemple} : La fonction linéaire \( f(x) = 2x + 3 \) associe à chaque valeur de \( x \) une valeur \( 2x + 3 \).
Équations :
Une équation} est une égalité entre deux expressions mathématiques contenant une ou plusieurs variables. Résoudre une équation consiste à trouver toutes les valeurs des variables qui satisfont l'égalité.
* *Inconnue : La variable que l'on cherche à déterminer.
* *Solution : Une valeur de l'inconnue qui vérifie l'équation.
* *Ensemble des solutions : L'ensemble de toutes les valeurs qui satisfont l'équation.
Exemple : L'équation \( 2x + 3 = 7 \) a pour solution \( x = 2 \), car \( 2(2) + 3 = 7 \).
Relation entre fonctions et équations :
Les fonctions et les équations sont étroitement liées. Par exemple, résoudre l'équation \( f(x) = 0 \) revient à trouver les racines de la fonction \( f \), c'est-à-dire les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction s'annule.
Exemple} : Pour la fonction \( f(x) = x^2 - 4 \), résoudre l'équation \( f(x) = 0 \) donne \( x^2 - 4 = 0 \), dont les solutions sont \( x = 2 \) et \( x = -2 \).
Types de fonctions et équations :
* *Fonctions linéaires} : De la forme \( f(x) = ax + b \). Les équations linéaires sont de la forme \( ax + b = 0 \).
* *Fonctions quadratiques} : De la forme \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Les équations quadratiques sont de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \).
* *Fonctions polynomiales} : De la forme \( f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0 \). Les équations polynomiales sont de la forme \( a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0 = 0 \).
* *Fonctions exponentielles et logarithmiques} : De la forme \( f(x) = a^x \) ou \( f(x) = \log_a(x) \). Les équations correspondantes impliquent des exposants ou des logarithmes.
Applications :
Les fonctions et les équations sont utilisées dans de nombreux domaines, tels que :
* *Physique} : Pour modéliser des mouvements, des forces, etc.
* *Économie} : Pour analyser des coûts, des profits, des modèles de marché.
* *Ingénierie} : Pour concevoir des systèmes, des structures, etc.
* *Biologie} : Pour modéliser des populations, des réactions chimiques, etc.