Résoudre les inéquations suivantes :
* *a.] \( 2x + 1 \geq 3x - 1 \)
* *b.] \(-x - \frac{1}{2} \leq x + 2\)
* *c.] \(\frac{x + 1}{2} + x < 0\)
* *d.] \(\frac{1 - x}{2} \leq \frac{2x + 1}{6}\)
* *a.] \( 2x + 1 \geq 3x - 1 \)
\[
2x - 3x \geq -1 - 1
\]
\[
-x \geq -2
\]
\[
x \leq 2
\]
L’ensemble des solutions est l’intervalle \([- \infty ; 2]\).
* *b.] \(-x - \frac{1}{2} \leq x + 2\)
\[
-x - x \leq 2 + \frac{1}{2}
\]
\[
-2x \leq \frac{5}{2}
\]
\[
x \geq -\frac{5}{4}
\]
L’ensemble des solutions est l’intervalle \([-\frac{5}{4}; +\infty]\).
* *c.] \(\frac{x + 1}{2} + x < 0\)
\[
2\left( \frac{x + 1}{2} + x \right) < 2 \times 0
\]
\[
x + 1 + 2x < 0
\]
\[
3x + 1 < 0
\]
\[
3x < -1
\]
\[
x < -\frac{1}{3}
\]
L’ensemble des solutions est l’intervalle \([-\infty; -\frac{1}{3}]\).
* *d.] \(\frac{x - 2}{-4} < x + 1\)
\[
-4\left( \frac{x - 2}{-4} \right) > -4(x + 1)
\]
\[
x - 2 > -4x - 4
\]
\[
x + 4x > -4 + 2
\]
\[
5x > -2
\]
\[
x > -\frac{2}{5}
\]
L’ensemble des solutions est l’intervalle \([-\frac{2}{5}; +\infty]\).
* *e.] \(\frac{1 - x}{2} \leq \frac{2x + 1}{6}\)
\[
6 \times \frac{1 - x}{2} \leq 6 \times \frac{2x + 1}{6}
\]
\[
3(1 - x) \leq 2x + 1
\]
\[
3 - 3x \leq 2x + 1
\]
\[
-3x - 2x \leq 1 - 3
\]
\[
-5x \leq -2
\]
\[
x \geq \frac{2}{5}
\]
L’ensemble des solutions est l’intervalle \([\frac{2}{5}; +\infty]\).
