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    • . Construction de tableaux de signe :

      Établir le tableau de signe des expressions algébriques suivantes :
          a.] \((x + 1)(2 - x)\)  
          b.] \(-(2x + 4)(x - 2)\)  
          c.] \((x + 1)^2\)

      1- Tableau de signe pour \((x + 1)(2 - x)\) : 

      \[
      \begin{array}{|c|cccc|}
      \hline
      x & -\infty & -1 & 2 & +\infty \\
      \hline
      x + 1 & - & 0 & + & + \\
      \hline
      2 - x & + & + & 0 & - \\
      \hline
      (x + 1)(2 - x) & - & 0 & + & 0 \\
      \hline
      \end{array}
      \]

      2. Tableau de signe pour \(-(2x + 4)(x - 2)\) :}

      \[
      \begin{array}{|c|cccc|}
      \hline
      x & -\infty & -2 & 2 & +\infty \\
      \hline
      2x + 4 & - & 0 & + & + \\
      \hline
      x - 2 & - & - & 0 & + \\
      \hline
      -(2x + 4)(x - 2) & - & 0 & + & 0 \\
      \hline
      \end{array}
      \]

      3. Tableau de signe pour \((x + 1)^2\) : 

      \[
      \begin{array}{|c|ccc|}
      \hline
      x & -\infty & -1 & +\infty \\
      \hline
      x + 1 & - & 0 & + \\
      \hline
      (x + 1)^2 & + & 0 & + \\
      \hline
      \end{array}
      \]


      On considère les fonctions \(f\) et \(g\) dont les images du nombre \(x\) sont respectivement définies par :
      \[ f(x) = \sqrt{2 - x} \times \sqrt{x - 5}
      \]       \[
      g(x) = \sqrt{(2 - x)(x - 5)} \]

      1.}
          a.] Justifier que la fonction \(f\) n’est pas définie pour le nombre 3.
          b.] Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\).

      2.}
          a.] Déterminer l’image du nombre 3 par la fonction \(g\).
          b.] Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(g\).

      1. a. 

      Pour \( x = 2 \), on a \( x - 5 = -3 \). Ainsi, le facteur \( \sqrt{x - 5} \) n’est pas défini en 2 : la fonction \( f \) n’est pas définie pour \( x = 2 \).

      b. Résolution des inéquations : 

      On a les deux résolutions suivantes d’inéquations :
      \[
      2 - x \geq 0 \quad \text{et} \quad x - 5 \geq 0
      \]

      Ainsi :
          * *L’expression \( \sqrt{2 - x} \) est définie sur \( ] -\infty; 2] \).
          * *L’expression \( \sqrt{x - 5} \) est définie sur \( [5; +\infty[ \).
      Pour que la fonction \( f \) soit définie, il faut que chacun de ses facteurs soit défini. Ainsi, on a :
      \[
      D_f = ] -\infty; 2] \cap [5; +\infty[ = \emptyset
      \]
      La fonction \( f \) n’est définie pour aucun nombre.

      2.
      a.] Pour \( x = 3 \), on a :
          \[
          (2 - x)(x - 5) = (2 - 3)(3 - 5) = (-1) \times (-2) = 2
          \]
          Ainsi, la fonction \( g \) est définie en 3 :
          \[
          g(3) = \sqrt{2}
          \]
          b.] Pour déterminer l’ensemble de définition de la fonction \( g \), on a besoin de déterminer le signe de l’expression sous le radical :
            \[
          \begin{array}{|c|cccc|}
          \hline
          x & -\infty & 2 & 5 & +\infty \\
          \hline
          2 - x & + & 0 & - & - \\
      \hline
          x - 5 & - & - & 0 & + \\
          \hline
          (2 - x)(x - 5) & - & 0 & + & 0 \\
          \hline
          \end{array}
          \]
           Une racine carrée est définie si l’expression sous son radical est positive ou nulle. On en déduit l’ensemble de définition de la fonction \( g \) :
          \[
          D_g = [2; 5]
          \]