Inéquations et tableaux de signes :
* *1.] Résoudre l’inéquation :
\[
\frac{(x+1)(x-2)}{1-x} > 0
\]
* *2.]
* *a.] Développer :
\[
(2x+1)(x-1)
\]
* *b.] Résoudre l’inéquation suivante :
\[
\frac{2x^2 - x - 1}{x^2 + 1} \leq 0
\]
1. Étude du signe de l’expression :
\[
\frac{(x+1)(x-2)}{1-x} > 0
\]
On établit le tableau de signe suivant :
\[
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -\infty & -1 & 1 & 2 & +\infty \\
\hline
x + 1 & - & 0 & + & + & + \\
\hline
x - 2 & - & - & - & 0 & + \\
\hline
1 - x & + & + & 0 & - & - \\
\hline
\frac{(x+1)(x-2)}{1-x} & - & 0 & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]
Ainsi, l’inéquation admet pour ensemble de solutions :
\[
S = ]-1; 1[ \cup ]2; +\infty[
\]
2.
* *a.] Développement de l’expression :
\[
(2x + 1)(x - 1) = 2x^2 - 2x + x - 1 = 2x^2 - x - 1
\]
* *b.] Résolution de l’inéquation :
\[
\frac{2x^2 - x - 1}{x^2 + 1} \leq 0
\]
En utilisant le développement précédent, on a :
\[
\frac{(2x + 1)(x - 1)}{x^2 + 1} \leq 0
\]
Le dénominateur \( x^2 + 1 \) est toujours strictement positif car :
\[
x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 1 \geq 1 > 0
\]
On établit le tableau de signe suivant :
\[
\begin{array}{|c|cccc|}
\hline
x & -\infty & -\frac{1}{2} & 1 & +\infty \\
\hline
2x + 1 & - & 0 & + & + \\
\hline
x - 1 & - & - & 0 & + \\
\hline
x^2 + 1 & + & + & + & + \\
\hline
\frac{(2x + 1)(x - 1)}{x^2 + 1} & + & 0 & - & 0 \\
\hline
\end{array}
\]
On en déduit que l’inéquation admet pour ensemble de solutions :
\[
S = \left[ -\frac{1}{2}; 1 \right]
\]
