Inéquations (un peu plus loin) :
Résoudre les inéquations suivantes :
a.] \( \frac{1}{1+x} < \frac{1}{1-x} \)
b.] \( \frac{-(2x+1)^2}{(4x-3)(1-2x)} \leq 0 \)
a. Résolution de l’inéquation :
On a les transformations algébriques suivantes :
\[
\frac{1}{1+x} < \frac{1}{1-x}
\]
\[
\frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x} < 0
\]
\[
\frac{1-x}{(1+x)(1-x)} - \frac{1+x}{(1-x)(1+x)} < 0
\]
\[
\frac{(1-x)-(1+x)}{(1-x)(1+x)} < 0
\]
\[
-\frac{2x}{(1-x)(1+x)} < 0
\]
On établit le tableau de signe suivant :
\[
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -\infty & -1 & 0 & 1 & +\infty \\
\hline
-2x & + & + & 0 & - & - \\
\hline
1 - x & + & + & + & 0 & - \\
\hline
1 + x & - & 0 & + & + & + \\
\hline
-\frac{2x}{(1-x)(1+x)} & - & + & 0 & - & + \\
\hline
\end{array}
\]
L’ensemble des solutions de cette inégalité est :
\[
S = ] -\infty ; -1 [ \cup ] 0 ; 1 [
\]
b. Résolution de l’inéquation :
On établit le tableau de signe suivant :
\[
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -\infty & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} & +\infty \\
\hline
-(2x+1)^2 & - & 0 & - & - & - \\
\hline
4x - 3 & - & - & - & 0 & + \\
\hline
1 - 2x & + & + & 0 & - & - \\
\hline
-\frac{(2x+1)^2}{(4x-3)(1-2x)} & + & 0 & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]
Ainsi, l’ensemble des solutions de cette inéquation est :
\[
S = \left] \frac{1}{2}; \frac{3}{4} \right[ \cup \left\{ -\frac{1}{2} \right\}
\]
