1.] Déterminer l’expression de \( P \) afin de réaliser la factorisation suivante :
\( 2x^2 + x - 1 = (x + 1) \times P \)
2.] Dresser le tableau de signe de
\( \frac{2x^2 + x - 1}{x^2 - 4} \)
3.] Résoudre l’inéquation suivante :
\( \frac{5x^2 + x - 13}{x^2 - 4} \leq 3 \)
1. Détermination de l’expression de \( P \) :
Montrons que le polynôme \( P \) a pour expression :
\( P = (2x - 1) \)
Vérifions cela avec le développement suivant :
\( (x + 1)(2x - 1) = 2x^2 - x + 2x - 1 = 2x^2 + x - 1 \)
2. Tableau de signe de l’expression :
En utilisant la factorisation de la question précédente, on obtient les transformations algébriques suivantes :
\( \frac{2x^2 + x - 1}{x^2 - 4} = \frac{(x + 1)(2x - 1)}{(x + 2)(x - 2)} \)
On établit le tableau de signe suivant :
\(
\begin{array}{|c|cccccc|}
\hline
x & -\infty & -2 & -1 & \frac{1}{2} & 2 & +\infty \\
\hline
x + 1 & - & - & 0 & + & + & + \\
\hline
2x - 1 & - & - & - & 0 & + & + \\
\hline
x + 2 & - & 0 & + & + & + & + \\
\hline
x - 2 & - & - & - & - & 0 & + \\
\hline
\frac{(x + 1)(2x - 1)}{(x + 2)(x - 2)} & - & 0 & + & 0 & + & + \\
\hline
\end{array}
\)
3. Résolution de l’inéquation :
On a les transformations algébriques suivantes :
\(
\frac{5x^2 + x - 13}{x^2 - 4} \leq 3
\) \(
\frac{5x^2 + x - 13}{x^2 - 4} - 3 \leq 0
\) \(
\frac{5x^2 + x - 13}{x^2 - 4} - \frac{3(x^2 - 4)}{x^2 - 4} \leq 0
\) \(
\frac{(5x^2 + x - 13) - (3x^2 - 12)}{x^2 - 4} \leq 0
\) \(
\frac{5x^2 + x - 13 - 3x^2 + 12}{x^2 - 4} \leq 0
\) \(
\frac{2x^2 + x - 1}{x^2 - 4} \leq 0
\) \(
\frac{(x + 1)(2x - 1)}{(x + 2)(x - 2)} \leq 0 \)
D’après le tableau de signe obtenu à la question précédente, cette inéquation admet pour ensemble de solutions :
\( S = \left[ -2; -1 \right] \cup \left[ \frac{1}{2}; 2 \right] \)