Équations du second degré 

Les équations du second degré} sont des équations polynomiales de la forme :

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
où :
    * * \( a \), \( b \), et \( c \) sont des coefficients réels (avec \( a \neq 0 \)),
    * * \( x \) est la variable inconnue.
Ces équations sont fondamentales en mathématiques et apparaissent dans de nombreux domaines, tels que la physique, l'économie, et l'ingénierie.

Résolution d'une équation du second degré : 

Pour résoudre une équation du second degré, on utilise généralement la méthode du discriminant}. Voici les étapes :
    * * Calcul du discriminant  :
    Le discriminant \( \Delta \) est donné par :
    \[
    \Delta = b^2 - 4ac
    \]
    Il détermine la nature des solutions de l'équation.

    * * Analyse du discriminant} :
        * * Si \( \Delta > 0 \), l'équation a deux solutions réelles distinctes} :
        \[
        x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
        \]
        * * Si \( \Delta = 0 \), l'équation a une solution réelle double} :
        \[
        x = \frac{-b}{2a}
        \]
        * * Si \( \Delta < 0 \), l'équation n'a pas de solution réelle}, mais deux solutions complexes conjuguées :
        \[
        x_1 = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a}
        \]
* * Forme factorisée} :
    Si l'équation a des solutions réelles, elle peut s'écrire sous forme factorisée :
    \[
    a(x - x_1)(x - x_2) = 0
    \]
Propriétés des solutions

    * * Somme et produit des racines  :
    Si \( x_1 \) et \( x_2 \) sont les solutions de l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \), alors :
    \[
    x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
    \]

    * * Signe des solutions  :
    Le signe des solutions dépend des coefficients \( a \), \( b \), et \( c \), ainsi que du discriminant.

Exemple : 

Résolvons l'équation :
\[
2x^2 - 4x - 6 = 0
\]
    * * Calcul du discriminant  :
    \[
    \Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64
    \]

    * * Solutions  :
    \[
    x_1 = \frac{4 - \sqrt{64}}{4} = \frac{4 - 8}{4} = -1
    \]
    \[
    x_2 = \frac{4 + \sqrt{64}}{4} = \frac{4 + 8}{4} = 3
    \]

    * * Forme factorisée} :
    \[ 2(x + 1)(x - 3) = 0 \] 
Applications :

Les équations du second degré sont utilisées pour modéliser des phénomènes tels que :
    * * La trajectoire d'un projectile en physique,
    * * L'optimisation de fonctions en économie,
    * * La résolution de problèmes géométriques.
Elles sont également essentielles pour comprendre des concepts plus avancés, comme les fonctions quadratiques et les paraboles.