On considère la fonction \( f \) dont l’image de \( x \) est définie par la fraction rationnelle suivante :

\[
f(x) = \frac{8x^2 + 6x - 5}{14x^2 - 13x + 3}
\]

Donner l’ensemble de définition de la fonction \( f \), puis déterminer, si elle existe, la forme simplifiée de \( f(x) \).

Ensemble de définition de \( f \) : 

Pour déterminer l’ensemble de définition, nous devons chercher les valeurs qui annulent le dénominateur :

Le polynôme du second degré du dénominateur admet pour discriminant :

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \times 14 \times 3 = 169 - 168 = 1
\]

Le discriminant étant strictement positif, ce polynôme admet deux racines :

\[
x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{13 - 1}{2 \times 14} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}
\]

\[
x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{13 + 1}{2 \times 14} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}
\]

Ainsi, l’ensemble de définition de la fonction \( f \) est :

\[
D_f = \mathbb{R} - \left\{ \frac{3}{7}; \frac{1}{2} \right\}
\]

Simplification de \( f(x) \) : 

Pour effectuer la simplification de cette fraction rationnelle, nous allons chercher la forme factorisée du numérateur et du dénominateur :
* Dénominateur  :  
    La forme factorisée du dénominateur est :
    \[
    14x^2 - 13x + 3 = 14 \cdot \left( x - \frac{3}{7} \right) \left( x - \frac{1}{2} \right)
    \]

   * Numérateur  :  
    Le discriminant du polynôme du second degré du numérateur vaut :
    \[
    \Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \times 8 \times (-5) = 36 + 160 = 196
    \]
    On remarque que \( \sqrt{\Delta} = \sqrt{196} = 14 \).  
    Le discriminant étant strictement positif, on obtient les deux racines suivantes :
    \[
    x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 - 14}{2 \times 8} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4}
    \]
    \[
    x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 + 14}{2 \times 8} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}
    \]
    La forme factorisée du numérateur est donc :
    \[
    8x^2 + 6x - 5 = 8 \cdot \left( x + \frac{5}{4} \right) \left( x - \frac{1}{2} \right)
    \]
* Forme simplifiée de \( f(x) \) : 

Ainsi, on obtient la simplification de l’expression de la fonction \( f \) sur son ensemble de définition :

\[
f(x) = \frac{8x^2 + 6x - 5}{14x^2 - 13x + 3} = \frac{8 \cdot \left( x + \frac{5}{4} \right) \left( x - \frac{1}{2} \right)}{14 \cdot \left( x - \frac{3}{7} \right) \left( x - \frac{1}{2} \right)}
\]

\[
f(x) = \frac{8 \cdot \left( x + \frac{5}{4} \right)}{14 \cdot \left( x - \frac{3}{7} \right)} = \frac{4 \cdot \left( x + \frac{5}{4} \right)}{7 \cdot \left( x - \frac{3}{7} \right)} = \frac{4x + 5}{7x - 3}
\]