Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation et l’inéquation suivante :
  a.]  


\[
\boxed{      \frac{-x^2 - 3}{3} + 2 = \frac{1}{2x + 1}   }
\]
    b.]  
 
\[
\boxed{   \frac{4x}{x + 1} \leq 5x - 3  }
\]

a. Résolution de l’équation : 

\[
\frac{-x^2 - 3}{3} + 2 = \frac{1}{2x + 1}
\]
On commence par simplifier le membre de gauche :
\[ \frac{-x^2 - 3}{3} + 2 = \frac{-x^2 - 3 + 6}{3} = \frac{-x^2 + 3}{3} \]
Ainsi, l’équation devient :
\[
\frac{-x^2 + 3}{3} = \frac{1}{2x + 1}
\]

On multiplie les deux côtés par \(3(2x + 1)\) pour éliminer les dénominateurs :
\[
(-x^2 + 3)(2x + 1) = 3
\]

On développe le membre de gauche :
\[ -2x^3 - x^2 + 6x + 3 = 3 \]

On simplifie :
\[ -2x^3 - x^2 + 6x = 0 \]

On factorise :
\[ x(-2x^2 - x + 6) = 0 \]

Les solutions sont :
\[ x = 0 \quad \text{ou} \quad -2x^2 - x + 6 = 0 \]

Pour résoudre \(-2x^2 - x + 6 = 0\), on calcule le discriminant :
\[ \Delta = (-1)^2 - 4 \times (-2) \times 6 = 1 + 48 = 49 \]

Les racines sont :
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{-4} = \frac{1 \pm 7}{-4} \]
\[
x_1 = \frac{8}{-4} = -2 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}
\]

Ainsi, les solutions de l’équation sont :
\[
S = \left\{ -2; 0; \frac{3}{2} \right\}
\]

b. Résolution de l’inéquation : 

\[
\frac{4x}{x + 1} \leq 5x - 3
\]

On commence par ramener tous les termes à gauche :
\[
\frac{4x}{x + 1} - 5x + 3 \leq 0
\]

On met au même dénominateur :
\[
\frac{4x - 5x(x + 1) + 3(x + 1)}{x + 1} \leq 0
\]

On développe et simplifie le numérateur :
\[
4x - 5x^2 - 5x + 3x + 3 = -5x^2 + 2x + 3
\]

Ainsi, l’inéquation devient :
\[
\frac{-5x^2 + 2x + 3}{x + 1} \leq 0
\]

On étudie le signe du numérateur et du dénominateur :
    * * Numérateur  : \(-5x^2 + 2x + 3\)  
    Le discriminant est :
    \[
    \Delta = 2^2 - 4 \times (-5) \times 3 = 4 + 60 = 64
    \]
    Les racines sont :
    \[
    x_1 = \frac{-2 - 8}{-10} = 1 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-2 + 8}{-10} = -\frac{3}{5}
    \]
    * * Dénominateur} : \(x + 1\)  
    Le dénominateur s’annule pour \(x = -1\).
On établit le tableau de signe suivant :

\[
\begin{array}{|c|cccc|}
\hline
x & -\infty & -1 & -\frac{3}{5} & 1 & +\infty \\
\hline
-5x^2 + 2x + 3 & - & - & 0 & + & 0 & - \\
\hline
x + 1 & - & 0 & + & + & + \\
\hline
\frac{-5x^2 + 2x + 3}{x + 1} & + & \text{ND} & - & 0 & + & 0 & - \\
\hline
\end{array}
\]
L’ensemble des solutions de l’inéquation est :  
\[
S = \left] -1; -\frac{3}{5} \right[ \cup \left[ 1; +\infty \right[
\]