On considère le polynôme du second degré :

\[
\boxed{P = 3x^3 + 5x^2 - 5x + 1 }
\]

On sait que le polynôme \( P \) admet une factorisation de la forme :

\[
P = (3x - 1)(a \cdot x^2 + b \cdot x + c)
\]
    * *1.] Déterminer les valeurs de \( a, b, c \) vérifiant cette factorisation.
    
    * *2.] En déduire l’ensemble des racines du polynôme \( P \).
    
    * *3.] Dresser le tableau de signe de \( P \).

1. Détermination des valeurs de \( a, b, c \) : 

En développant la forme factorisée, on obtient :

\[
(3x - 1)(a \cdot x^2 + b \cdot x + c) = 3a \cdot x^3 + (3b - a) \cdot x^2 + (3c - b) \cdot x - c
\]

En identifiant les coefficients degré par degré, on obtient le système suivant :

\[
\begin{cases}
3a = 3 \\
3b - a = 5 \\
3c - b = -5 \\
-c = 1
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
a = 1 \\
3b - 1 = 5 \\
3c - b = -5 \\
c = -1
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
a = 1 \\
b = 2 \\
c = -1
\end{cases}
\]
Ainsi, la factorisation du polynôme \( P \) est :
\[
P = (3x - 1)(x^2 + 2x - 1)
\]
2. Ensemble des racines de \( P \) :

Cherchons les racines du facteur du second degré \( x^2 + 2x - 1 \). Son discriminant est :

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 4 + 4 = 8
\]
On a la simplification :
\[
\sqrt{\Delta} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
Ainsi, les racines du facteur du second degré sont :
\[
x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{2} = -1 - \sqrt{2}
\]
\[
x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{2} = -1 + \sqrt{2}
\]
Le premier facteur \( 3x - 1 \) s’annule pour \( x = \frac{1}{3} \). Ainsi, l’ensemble des racines du polynôme \( P \) est :

\[
\left\{ -1 - \sqrt{2}; -1 + \sqrt{2}; \frac{1}{3} \right\}
\]

3. Tableau de signe de \( P \) : 

Pour dresser le tableau de signe, on remarque que :
     *  Le facteur du second degré \( x^2 + 2x - 1 \) a un coefficient du second degré positif.
    *  Les racines du polynôme \( P \) sont ordonnées comme suit :
    \[ -1 - \sqrt{2} < \frac{1}{3} < -1 + \sqrt{2} \]
On établit le tableau de signe suivant :
\[
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -\infty & -1 - \sqrt{2} & \frac{1}{3} & -1 + \sqrt{2} & +\infty \\
\hline
3x - 1 & - & - & 0 & + & + \\
\hline
x^2 + 2x - 1 & + & 0 & - & - & 0 \\
\hline
P = 3x^3 + 5x^2 - 5x + 1 & - & 0 & + & 0 & + \\
\hline
\end{array}
\]