On considère les fonctions \( f \) et \( g \) définies sur \( \mathbb{R} \) par les relations :
\[
\boxed{ f(x) = x^2 + x + 1 ; \quad g(x) = -2x^2 - 3x + 5 }
\]
1. Tableau de variation :
a. Fonction \( f \)
Le coefficient du terme de degré 2 est positif ; la fonction est décroissante puis croissante. Son minimum est atteint en
\[ \frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} \]
et vaut :
\[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{7}{4} \]
On obtient le tableau de variation suivant :
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & -\frac{1}{2} & +\infty \\
\hline
\text{Variation de } f & \searrow & \text{Minimum} & \nearrow \\
\end{array}
\]
b. Fonction \( g \) :
Le coefficient du terme de second degré est négatif ; la fonction est croissante puis décroissante. Son maximum est atteint pour la valeur :
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2\times(-2)} = -\frac{3}{4} \]
et a pour valeur :
\[ \frac{\Delta}{4a} = -\frac{b^2 - 4\cdot c}{-8} = \frac{(-3)^2 - 4\times(-2)\times 5}{8} = \frac{49}{8} \]
Voici le tableau de variation de la fonction \( g \) :
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & -\frac{3}{4} & +\infty \\
\hline
\text{Variation de } g & \nearrow & \text{Maximum} & \searrow \\
\end{array}
\]
2. Tableau de signe :
a. Fonction \( f \) :
Cherchons le signe du discriminant de \( x^2 + x + 1 \) :
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\times 1\times 1 = -3 < 0 \]
Le discriminant est négatif ; ce polynôme du second degré n’admet aucune racine. Son coefficient du terme de degré 2 étant positif, on obtient le tableau de signe suivant :
\[
\begin{array}{c|c}
x & -\infty \quad +\infty \\
\hline
f(x) & + \\
\end{array}
\]
b. Fonction \( g \) :
Étudions les racines de \(-2x^2 - 3x + 5\). Voici le discriminant de cette expression :
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4\times(-2)\times 5 = 49 > 0 \]
On a la simplification :
\[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7 \]
Le discriminant de ce polynôme est positif : la fonction \( g \) admet deux racines :
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - 7}{-4} = 1 \]
\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + 7}{-4} = -\frac{5}{2} \]
Le coefficient du terme de second degré étant strictement négatif ; on en déduit que la fonction \( g \) est positive pour des valeurs de \( x \) comprises entre les deux racines :
\[
\begin{array}{c|ccccc}
x & -\infty & -\frac{5}{2} & 1 & +\infty \\
\hline
g(x) & - & 0 & + & 0 & - \\
\end{array}
\]
