On considère l’équation \( (E) \) définie par :

\[
\boxed{ x^4 - 8x^3 + 2x^2 - 8x + 1 = 0 }
\]

1. Montrer que l’équation \( (E) \) est équivalente à :}
\[ (E') : x^2 - 8x + 2 - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 \]

2. Déterminer les réels \( a, b \) et \( c \) vérifiant la relation :}
\[ x^2 - 8x + 2 - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^2} = a \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 + b \left( x + \frac{1}{x} \right) + c \]

3. En posant pour changement de variable \( X = x + \frac{1}{x} \), résoudre l’équation \( (E') \).}

1.}
On vérifie facilement que le nombre 0 n’est pas solution de l’équation. Ainsi, on résout cette équation sur \( \mathbb{R}^* \).
L’équation \( (E) \) se traduit par :
\[ x^4 - 8x^3 + 2x^2 - 8x + 1 = 0 \]
\( x \) étant non-nul, on divise les deux membres par \( x^2 \) :
\[
\frac{x^4 - 8x^3 + 2x^2 - 8x + 1}{x^2} = \frac{0}{x^2}
\]
\[
\frac{x^4}{x^2} - \frac{8x^3}{x^2} + \frac{2x^2}{x^2} - \frac{8x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0
\]
\[
x^2 - 8x + 2 - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^2} = 0
\]

2.}
Pour déterminer les valeurs de \( a, b \) et \( c \), développons et simplifions le membre de droite de l’égalité :
\[
a \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 + b \left( x + \frac{1}{x} \right) + c
\]
\[
= a \left( x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \right) + b \left( x + \frac{1}{x} \right) + c
\]
\[
= a x^2 + 2a + \frac{a}{x^2} + b x + \frac{b}{x} + c
\]

Par identification de cette expression avec le membre de gauche de l’égalité, on obtient le système d’équations :
\[
\begin{cases}
a = 1 \\
b = -8 \\
2a + c = 2 \\
b = -8 \\
a = 1
\end{cases}
\]
On en déduit les valeurs suivantes :
\[
a = 1 ; \quad b = -8 ; \quad c = 0
\]
On en déduit l’égalité suivante :
\[
x^2 - 8x + 2 - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 8 \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right)
\]

3.}
Considérons l’équation \( (E') \):
\[
x^2 - 8x + 2 - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^2} = 0
\]
\[
\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 8 \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) = 0
\]

Utilisons le changement de variables \( X = x + \frac{1}{x} \) :
\[
X^2 - 8 \cdot X = 0
\]
\[
X \cdot (X - 8) = 0
\]

Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. On en déduit les deux réponses :
\[
X = 0 ; \quad X = 8
\]

Ces deux valeurs de \( X \) entraînent la résolution des deux équations suivantes :
    * * Pour la valeur \( X = 0 \) :
    \[
    X = 0 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 1}{x} = 0
    \]
    Si un quotient est nul alors son numérateur est nul.
    \[
    x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1
    \]
    Le carré d’un nombre réel étant toujours strictement positif, on en déduit que cette équation n’admet pas de solution.

    * * Pour la valeur \( X = 8 \) :
    \[
    X = 8 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 8 \Rightarrow x^2 - 8x + 1 = 0
    \]
    Ce polynôme admet pour discriminant :
    \[
    \Delta = b^2 - 4 \cdot c = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 64 - 4 = 60
    \]
    On a la simplification :
    \[
    \sqrt{\Delta} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}
    \]
    Le discriminant étant strictement positif, ce polynôme admet les deux racines suivantes :
    \[
    x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}
    \]
    \[
    x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}
    \]

On en déduit que l’équation \( (E') \), donc aussi \( (E) \) qui est une équation équivalente, admet pour ensemble de solutions :
\[
S = \left\{ 4 - \sqrt{15} ; 4 + \sqrt{15} \right\}
\]