Écriture des nombres décimaux : 

Dans le nombre ci-dessus, il y a 2 décimales après la partie entière.

\textbf{Conseils Edurex :} Lorsqu'il n'y a pas de partie entière, n'oubliez pas d'écrire 0 avant la virgule. Par exemple, \textbf{.65} doit toujours être écrit comme \textbf{0,65}.

Millièmes :

Si nous divisons un tout en mille parties égales, alors chaque partie du tout représente un millième.

Ainsi,
\[
\frac{1}{1000} = 0,001
\]
Un millième se lit \textit{« zéro virgule zéro zéro un »}.

Le décimal:
\[
0,716 = \frac{716}{1000} \quad \text{(716 millièmes)}
\]
représente 716 parties sur 1000 parties.

Exercice :
Sumit et Ritu lisent tous les deux le nombre \textbf{0,716} de différentes manières. Cochez ($\checkmark$) la bonne réponse.

\begin{itemize}[label=$\square$]
    \item Lire 0,716 comme \textit{« zéro virgule sept un six »}.
    \item[$\checkmark$] Lire 0,716 comme \textit{« zéro virgule sept cent seize »}.
\end{itemize}

Forme développée :
\[
0,716 = \frac{716}{1000} = \frac{700}{1000} + \frac{10}{1000} + \frac{6}{1000} = \frac{7}{10} + \frac{1}{100} + \frac{6}{1000}
\]

De même, \textbf{49,107} est \textit{quarante-neuf et cent sept millièmes} et se lit \textit{« quarante-neuf virgule un zéro sept »}.

Forme développée:
\[
49,107 = 40 + 9 + \frac{1}{10} + \frac{0}{100} + \frac{7}{1000}
\]

Valeur de position et décimaux:

Le tableau de valeur de position ci-dessous montre la valeur de chaque chiffre dans le nombre \textbf{2222,222}.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Chiffre & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
\hline
Valeur de position & 1000 & 100 & 10 & 1 & 0,1 & 0,01 & 0,001 \\
\hline
Position & Milliers & Centaines & Dizaines & Unités & Dixièmes & Centièmes & Millièmes \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

La première place à droite de la virgule est la place des \textbf{dixièmes}, la deuxième est celle des \textbf{centièmes}, et ainsi de suite.

\textbf{Conseils Edurev :} Le chiffre à chaque position a une valeur de position égale à un dixième (1/10) de celle de la position à sa gauche.

Ici, c'est 222 millièmes.

Exemple avec 1279,364 :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Chiffre & 1 & 2 & 7 & 9 & 3 & 6 & 4 \\
\hline
Valeur & $1 \times 1000$ & $2 \times 100$ & $7 \times 10$ & $9 \times 1$ & $3 \times \frac{1}{10}$ & $6 \times \frac{1}{100}$ & $4 \times \frac{1}{1000}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\[
\begin{aligned}
1279,364 &= 1 \text{ millier} + 2 \text{ centaines} + 7 \text{ dizaines} + 9 \text{ unités} \\
&\quad + 3 \text{ dixièmes} + 6 \text{ centièmes} + 4 \text{ millièmes} \\
&= 1 \times 1000 + 2 \times 100 + 7 \times 10 + 9 \times 1 + 3 \times \frac{1}{10} + 6 \times \frac{1}{100} + 4 \times \frac{1}{1000}
\end{aligned}
\]

Conversion de fractions en décimaux et vice versa:

Conversion de fractions en décimaux:

Les fractions dont les dénominateurs sont 10, 100 ou 1000 peuvent être facilement converties en décimaux en plaçant la virgule dans le numérateur en conséquence.

Exemples:

\textbf{Dénominateur = 10} (Nombre de décimales = 1)
\[
\begin{aligned}
\frac{3}{10} &= 0,3 \\
\frac{12}{10} &= 1,2 \\
\frac{209}{10} &= 20,9
\end{aligned}
\]

\textbf{Dénominateur = 100} (Nombre de décimales = 2)
\[
\begin{aligned}
\frac{3}{100} &= 0,03 \\
\frac{12}{100} &= 0,12 \\
\frac{209}{100} &= 2,09
\end{aligned}
\]

\section{Conversion de fractions en décimaux et vice versa}

\[
\frac{3}{1000} = 0,003
\]
\[
\frac{12}{1000} = 0,012
\]
\[
\frac{209}{1000} = 0,209
\]

Dénominateur = 1000  
Nombre de décimales = 3

Pour les fractions qui peuvent être converties en fractions équivalentes ayant des dénominateurs 10 ou des multiples de 10, nous appliquons la même méthode que ci-dessus.

\[
\frac{1}{2} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{8} \times \frac{4}{25} = 0,5
\]

\[
\frac{1}{2} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{8} \times \frac{4}{25} = 0,25
\]

De même,

\[
2 \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = 2 + \frac{5}{10} = 2 + 0,5 = 2,5
\]

\[
4 \frac{8}{25} = 4 + \frac{8}{25} = 4 + \frac{32}{100} = 4 + 0,32 = 4,32
\]

\section{Conversion de décimaux en fractions}
Les décimaux peuvent également être convertis en fractions comme suit :

\[
0,6 = \frac{6}{10} \div 2 = \frac{3}{5}
\]

\[
0,32 = \frac{32}{100} \div 4 = \frac{8}{25}
\]

\[
2,25 = \frac{225}{100} \div 4 = \frac{9}{25}
\]

Réduire à la forme la plus simple

Réduire à la forme la plus simple

Réduire à la forme la plus simple

Représentation picturale de la conversion d'un décimal en fraction

\section{Décimaux équivalents}
Les décimaux qui représentent la même quantité sont appelés décimaux équivalents.

Observez ce qui suit.

8 dixièmes = 0,8  
80 centièmes = 0,80  

Comme on peut le voir, ces deux images représentent la même quantité, donc \( 0,8 = 0,80 \).  
8 dixièmes = 80 centièmes  
\( \frac{8}{10} = \frac{80}{100} \)  
Ainsi, \( 0,8 = 0,80 = 0,800 = 0,8000 = \) ______.  
De même, \( 1,8 = 1,80 = 1,800 \); \( 37,41 = 37,410 = 37,4100 \), etc.  
De ce qui précède, il est clair que l'ajout de zéros à la fin d'un nombre décimal ne change pas sa valeur.

\section{Décimaux semblables et décimaux dissemblables}
Les décimaux ayant le même nombre de décimales sont appelés décimaux semblables.  
2,3 ; 0,8 ; 7,1  
1,31 ; 45,83 ; 2,06  
270,008 ; 0,431 ; 1,105  

1 décimale  
2 décimales  
3 décimales  
Les décimaux ayant un nombre différent de décimales sont appelés décimaux dissemblables.  
Ainsi, \( 1,2 \), \( 4,03 \), \( 0,895 \) sont tous des décimaux dissemblables.

\section{Conversion de décimaux dissemblables en décimaux semblables}
Les décimaux dissemblables peuvent être convertis en décimaux semblables en trouvant leurs décimaux équivalents.  
Exemple 1 : Convertir \( 6,8 \), \( 7,83 \) et \( 12,040 \) en décimaux semblables.

\section{Conversion en décimaux semblables}
Le plus grand nombre de décimales est 3, donc nous les convertissons tous en décimaux équivalents avec 3 décimales.

6,8 → 6,800 ; 7,83 → 7,830 ; 12,040

Ainsi, 6,8 ; 7,83 et 12,040, une fois convertis en décimaux semblables, deviennent 6,800 ; 7,830 ; 12,040.

\section{Comparaison et ordonnancement des décimaux}

### 1. Comparaison des décimaux

Pour comparer des nombres décimaux, nous suivons les étapes suivantes.

**Étape 1 :** Convertir les décimaux en décimaux semblables.

**Étape 2 :** Comparer d'abord les parties entières. Le nombre avec la partie entière la plus grande est le plus grand.

**Étape 3 :** Si les parties entières sont identiques, comparer les chiffres des dixièmes. Le nombre décimal ayant le chiffre des dixièmes le plus grand est le plus grand.

**Étape 4 :** Si les chiffres des dixièmes sont identiques, comparer les chiffres des centièmes, et ainsi de suite.

**Exemple 2 :** Quel nombre est plus grand : 3,612 ou 3,621 ?

Les nombres sont :

\[
\begin{array}[]{l}3\hskip 5.690551pt.\hskip 5.690551pt6\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\\ 3\hskip 5.690551pt.\hskip 5.690551pt6\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\end{array}
\]

En comparant les chiffres de gauche à droite, on constate que les chiffres des centièmes diffèrent. Puisque 2 centièmes \(>\) 1 centième, donc 3,621 \(>\) 3,612.

### 2. Ordonnancement des décimaux

**Exemple 3 :** Classez 21,012 ; 21,002 ; 24,102 dans l'ordre croissant.

En comparant les parties entières, on constate que 24,102 est le plus grand. Maintenant, comparez 21,012 et 21,002.

Les parties entières étant identiques, nous commençons par comparer les chiffres des dixièmes.

\[
\begin{array}[]{l}2\hskip 5.690551pt1\hskip 5.690551pt.\hskip 5.690551pt0 \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\\ 2\hskip 5.690551pt1\hskip 5.690551pt.\hskip 5.690551pt0\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}2\end{array}
\]

Les chiffres des centièmes diffèrent. Puisque 1 centième \(>\) 0 centième, donc 21,012 \(>\) 21,002.

Ainsi, les nombres donnés dans l'ordre croissant sont : 21,002 ; 21,012 ; 24,102.