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Les Nombres Décimaux

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Les Nombres Décimaux

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    • Décimaux}

      Un nombre décimal est une autre manière d'exprimer une fraction.

      - Dixièmes}

      \[
      \begin{array}{cccccccc}
      1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
      10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 \\
      \end{array}
      \]

      La fraction \( \frac{1}{10} \), en décimal, s'écrit 0,1 et se lit "zéro virgule un". Les parties ombrées suivantes peuvent être lues comme :

      \[
      \begin{array}{cccccc}
      9 & 10 & 10 & 10 & 5 & 10 & 10 & 4 \\
      \text{ou 9 dixièmes} & 5 & 10 & 10 & 5 & 10 & 10 & 4 \\
      \text{ou 5 dixièmes} & 4 & 10 & 10 & 5 & 10 & 10 & 4 \\
      \end{array}
      \]

      \textbf{0,9 ou zéro virgule neuf 0,5 ou zéro virgule cinq}  
      0,4 ou zéro virgule quatre

      Le point ou la virgule entre les deux chiffres est appelé la virgule décimale.  
      Les nombres entiers et les nombres décimaux peuvent également être combinés comme indiqué ci-dessous : L'image donnée à côté montre, sur une règle, une longueur de \( 1 \, \text{cm} + 7 \) parties sur \( 1 \, \text{cm} \). Puisque chaque cm est divisé en 10 parties égales (comme on peut le voir), le nombre donné ci-dessus peut être écrit comme \( 1,7 \).

      \[
      1 \, \text{cm} + \frac{7}{10} \, \text{cm} = 1 \, \text{cm} + 0,7 \, \text{cm} = 1,7 \, \text{cm}.
      \]

      \( 1,7 \) est également un nombre décimal et se lit "un virgule sept".

      ---

      \section{Centièmes}

      Divisons maintenant un tout en 100 parties égales.

      Chaque partie sur 100 parties égales est \(\frac{1}{100}\) ou 0,01. 0,01 est 1 centième.

      8 parties sur 100 parties égales est \(\frac{8}{100}\) ou 0,08. 0,08 est 8 centièmes.

      75 parties sur 100 parties égales est \(\frac{75}{100}\) ou 0,75. 0,75 est 75 centièmes.

      Nous lisons

      - **0,01** comme zéro virgule zéro un,
      - **0,08** comme zéro virgule zéro huit,
      - **0,75** comme zéro virgule sept cinq.

      0,41 est 41 centièmes ou 4 dixièmes et 1 centième.

      =    +    +

      ### 41 centièmes
      \[0,41 = \frac{41}{100} = \frac{40}{100} + \frac{1}{100}\]

      \[= \frac{4}{10} + \frac{1}{100}\]

      De même,

      \[\frac{29}{100} = 5,29 = 5 + \frac{2}{10} + \frac{9}{100}\]

      \[\frac{3}{100} = 5,03 = 5 + \frac{0}{10} + \frac{3}{100}\]

      Ainsi, un nombre décimal a deux parties—la partie entière et la partie décimale séparées par une virgule. Le nombre de chiffres après la virgule est appelé le nombre de décimales.

  • New section

    • Dans le nombre ci-dessus, il y a 2 décimales après la partie entière.  
      \textbf{Conseils Edurex :} Lorsqu'il n'y a pas de partie entière, n'oubliez pas d'écrire 0 avant la virgule, par exemple, .65 doit toujours être écrit comme 0,65.  

      \section{Millièmes}  
      Si nous divisons un tout en mille parties égales, alors chaque partie du tout représente un millième.  
      Ainsi, \(\frac{1}{1000} = 0,001\) ou un millième se lit "zéro virgule zéro zéro un".  
      Le décimal \(0,716 = \frac{716}{1000}\) (716 millièmes) représente 716 parties sur 1000 parties.  

      Sumit et Ritu lisent tous les deux le nombre \(0,716\) de différentes manières. Cochez \(\checkmark\) la bonne réponse ?  

      \[
      \begin{array}{c}
      \text{lire } 0,716 \\
      \text{comme zéro} \\
      \text{virgule sept} \\
      \text{un six.}
      \end{array}
      \]

      \[
      \begin{array}{c}
      \text{lire } 0,716 \text{ comme} \\
      \text{zéro virgule} \\
      \text{sept cent} \\
      \text{seize.}
      \end{array}
      \]

      Sous forme développée, nous écrivons \(0,716\) comme :  

      \[
      0,716 = \frac{716}{1000} = \frac{700}{1000} + \frac{10}{1000} + \frac{6}{1000} = \frac{7}{10} + \frac{1}{100} + \frac{6}{1000}
      \]

      De même, \(49,107\) est quarante-neuf et cent sept millièmes et se lit "quarante-neuf virgule un zéro sept".  
      Sous forme développée,  

      \[
      49,107 = 40 + 9 + \frac{1}{10} + \frac{0}{100} + \frac{7}{1000}
      \]

      \section{Valeur de position et décimaux}

      Le tableau de valeur de position montré ci-dessous peut également être utilisé pour comprendre les décimaux. La valeur de position de chaque chiffre dans le nombre 2222,222 est indiquée ci-dessous.

      \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
      Nombre & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 
      Valeur de position & 100 & 100 & 10 & 1 & 1 & 1 \\  
       & & & & unités & 10 & 100 \\ 
      Positions & & & dizaines & & dixièmes & \\  
       & & milliers & & & & centièmes \\  
       & & & & & & millièmes \\ \hline
      \end{tabular}

      La première place à droite de la virgule est la place des dixièmes, la deuxième place à droite est la place des centièmes, et ainsi de suite. La dernière place après la virgule nous indique comment nommer la partie décimale.

      \textbf{Conseils Edurev :} Le chiffre à chaque position a une valeur de position égale à un dixième (1/10) de celle de la position à sa gauche.

      Ici, c'est 222 millièmes.

      En utilisant le tableau de valeur de position, nous pouvons écrire la forme développée de n'importe quel nombre décimal. Prenons le nombre 1279,364.

      \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
       & 2 & 7 & 9 & . & 3 & 6 & 4 \\ \hline
      \(1\times 1000\) & \(2\times 100\) & \(7\times 10\) & \(9\times 1\) & \(3\times\frac{1}{10}\) & \(6\times\frac{1}{100}\) & \(4\times\frac{1}{1000}\) \\ \hline
      \end{tabular}

      \(1279,364 = 1\) millier + \(2\) centaines + \(7\) dizaines + \(9\) unités + \(3\) dixièmes + \(6\) centièmes + \(4\) millièmes

      \(=1\times 1000 + 2\times 100 + 7\times 10 + 9\times 1 + 3\times \frac{1}{10} + 6\times \frac{1}{100} + 4 \times \frac{1}{1000}\)

      Ou

      \section{Conversion de fractions en décimaux et vice versa}

      1. Conversion de fractions en décimaux  
      Les fractions dont les dénominateurs sont 10, 100 ou 1000 peuvent être facilement converties en décimaux en plaçant la virgule dans le numérateur en conséquence.  
      Exemples :  

      \[
      \begin{array}{c}
      \frac{3}{10} = 0,3 \\
      \frac{12}{10} = 1,2 \\
      \frac{209}{10} = 20,9 \\
      \end{array}
      \]

      Dénominateur = 10  
      Nombre de décimales = 1  

      \[
      \begin{array}{c}
      \frac{3}{100} = 0,03 \\
      \frac{12}{100} = 0,12 \\
      \frac{209}{100} = 2,09 \\
      \end{array}
      \]

      Dénominateur = 100  
      Nombre de décimales = 2

    • \section{Conversion de fractions en décimaux et vice versa}

      \[
      \frac{3}{1000} = 0,003
      \]
      \[
      \frac{12}{1000} = 0,012
      \]
      \[
      \frac{209}{1000} = 0,209
      \]

      Dénominateur = 1000  
      Nombre de décimales = 3

      Pour les fractions qui peuvent être converties en fractions équivalentes ayant des dénominateurs 10 ou des multiples de 10, nous appliquons la même méthode que ci-dessus.

      \[
      \frac{1}{2} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{8} \times \frac{4}{25} = 0,5
      \]

      \[
      \frac{1}{2} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{8} \times \frac{4}{25} = 0,25
      \]

      De même,

      \[
      2 \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = 2 + \frac{5}{10} = 2 + 0,5 = 2,5
      \]

      \[
      4 \frac{8}{25} = 4 + \frac{8}{25} = 4 + \frac{32}{100} = 4 + 0,32 = 4,32
      \]

      \section{Conversion de décimaux en fractions}
      Les décimaux peuvent également être convertis en fractions comme suit :

      \[
      0,6 = \frac{6}{10} \div 2 = \frac{3}{5}
      \]

      \[
      0,32 = \frac{32}{100} \div 4 = \frac{8}{25}
      \]

      \[
      2,25 = \frac{225}{100} \div 4 = \frac{9}{25}
      \]

      Réduire à la forme la plus simple

      Réduire à la forme la plus simple

      Réduire à la forme la plus simple

      Représentation picturale de la conversion d'un décimal en fraction

      \section{Décimaux équivalents}
      Les décimaux qui représentent la même quantité sont appelés décimaux équivalents.

      Observez ce qui suit.

      8 dixièmes = 0,8  
      80 centièmes = 0,80  

      Comme on peut le voir, ces deux images représentent la même quantité, donc \( 0,8 = 0,80 \).  
      8 dixièmes = 80 centièmes  
      \( \frac{8}{10} = \frac{80}{100} \)  
      Ainsi, \( 0,8 = 0,80 = 0,800 = 0,8000 = \) ______.  
      De même, \( 1,8 = 1,80 = 1,800 \); \( 37,41 = 37,410 = 37,4100 \), etc.  
      De ce qui précède, il est clair que l'ajout de zéros à la fin d'un nombre décimal ne change pas sa valeur.

      \section{Décimaux semblables et décimaux dissemblables}
      Les décimaux ayant le même nombre de décimales sont appelés décimaux semblables.  
      2,3 ; 0,8 ; 7,1  
      1,31 ; 45,83 ; 2,06  
      270,008 ; 0,431 ; 1,105  

      1 décimale  
      2 décimales  
      3 décimales  
      Les décimaux ayant un nombre différent de décimales sont appelés décimaux dissemblables.  
      Ainsi, \( 1,2 \), \( 4,03 \), \( 0,895 \) sont tous des décimaux dissemblables.

      \section{Conversion de décimaux dissemblables en décimaux semblables}
      Les décimaux dissemblables peuvent être convertis en décimaux semblables en trouvant leurs décimaux équivalents.  
      Exemple 1 : Convertir \( 6,8 \), \( 7,83 \) et \( 12,040 \) en décimaux semblables.

    • \section{Conversion en décimaux semblables}
      Le plus grand nombre de décimales est 3, donc nous les convertissons tous en décimaux équivalents avec 3 décimales.

      6,8 → 6,800 ; 7,83 → 7,830 ; 12,040

      Ainsi, 6,8 ; 7,83 et 12,040, une fois convertis en décimaux semblables, deviennent 6,800 ; 7,830 ; 12,040.

      \section{Comparaison et ordonnancement des décimaux}

      ### 1. Comparaison des décimaux

      Pour comparer des nombres décimaux, nous suivons les étapes suivantes.

      **Étape 1 :** Convertir les décimaux en décimaux semblables.

      **Étape 2 :** Comparer d'abord les parties entières. Le nombre avec la partie entière la plus grande est le plus grand.

      **Étape 3 :** Si les parties entières sont identiques, comparer les chiffres des dixièmes. Le nombre décimal ayant le chiffre des dixièmes le plus grand est le plus grand.

      **Étape 4 :** Si les chiffres des dixièmes sont identiques, comparer les chiffres des centièmes, et ainsi de suite.

      **Exemple 2 :** Quel nombre est plus grand : 3,612 ou 3,621 ?

      Les nombres sont :

      \[
      \begin{array}[]{l}3\hskip 5.690551pt.\hskip 5.690551pt6\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\\ 3\hskip 5.690551pt.\hskip 5.690551pt6\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\end{array}
      \]

      En comparant les chiffres de gauche à droite, on constate que les chiffres des centièmes diffèrent. Puisque 2 centièmes \(>\) 1 centième, donc 3,621 \(>\) 3,612.

      ### 2. Ordonnancement des décimaux

      **Exemple 3 :** Classez 21,012 ; 21,002 ; 24,102 dans l'ordre croissant.

      En comparant les parties entières, on constate que 24,102 est le plus grand. Maintenant, comparez 21,012 et 21,002.

      Les parties entières étant identiques, nous commençons par comparer les chiffres des dixièmes.

      \[
      \begin{array}[]{l}2\hskip 5.690551pt1\hskip 5.690551pt.\hskip 5.690551pt0 \begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\\ 2\hskip 5.690551pt1\hskip 5.690551pt.\hskip 5.690551pt0\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}2\end{array}
      \]

      Les chiffres des centièmes diffèrent. Puisque 1 centième \(>\) 0 centième, donc 21,012 \(>\) 21,002.

      Ainsi, les nombres donnés dans l'ordre croissant sont : 21,002 ; 21,012 ; 24,102.

  • New section

    • Addition et soustraction de décimaux

      ### 1. Addition
      Pour additionner deux ou plusieurs décimaux, nous suivons ces étapes.

      **Étape 1 :** Convertir les décimaux en décimaux semblables.

      **Étape 2 :** Aligner les virgules, c'est-à-dire placer les nombres les uns sous les autres de manière à ce que les chiffres des dizaines soient alignés, les unités sous les unités, les virgules sous les virgules, les dixièmes sous les dixièmes, et ainsi de suite.

      **Étape 3 :** Additionner comme pour les nombres entiers. Faire les retenues si nécessaire.

      **Étape 4 :** Placer la virgule dans la somme directement sous la virgule des nombres additionnés.

      **Exemple 4 :** Additionner : 4,83 ; 312,9 et 23,031.

      D'abord, nous convertissons les nombres à additionner en décimaux semblables.

      Nous avons : \( 4,83 \rightarrow 4,830 \), \( 312,9 \rightarrow 312,900 \), \( 23,031 \).

      Maintenant, alignons les décimaux et additionnons.

      \[
      \begin{array}{cccc}
      \text{Additionner les millièmes.} & 0 + 0 + 1 = 1 & \text{millième} \\
      \text{Additionner les centièmes.} & 3 + 0 + 3 = 6 & \text{centièmes} \\
      \text{Additionner les dixièmes.} & 8 + 9 + 0 = 17 & \text{dixièmes} \\
      \end{array}
      \]

      \[
      \begin{array}{cccc}
      \text{Écrire 7 à la place des dixièmes.} & \text{Retenir 1 à la place des unités.} \\
      \text{Additionner les unités.} & 1 + 4 + 2 + 3 = 10 & \text{unités} \\
      \end{array}
      \]

      \[
      \begin{array}{cccc}
      \text{Écrire 0 à la place des unités.} & \text{Retenir 1 à la place des dizaines.} \\
      \text{Additionner les dizaines.} & 1 + 1 + 2 = 4 & \text{dizaines} \\
      \end{array}
      \]

      \[
      \begin{array}{cccc}
      \text{Additionner les centaines.} & 0 + 3 + 0 = 3 & \text{centaines} \\
      \end{array}
      \]

      ---

      **Exemple 5 :** Additionner : 6,9 ; 3,405 et 9,46.

      D'abord, nous convertissons les nombres à additionner en décimaux semblables.

      Conversion en décimaux semblables : \( 6,9 \rightarrow 6,900 \), \( 3,405 \), \( 9,46 \rightarrow 9,460 \).

      Maintenant, alignons les décimaux et additionnons.

      \[
      \begin{array}{cccc}
      \text{Maintenant.} & 1 & 2 & 3 & 4 \\
      \end{array}
      \]

      \[
      \begin{array}{cccc}
      \text{Maintenant.} & 2 & 4 & 5 & 6 \\
      \end{array}
      \]

      \[
      \begin{array}{cccc}
      \text{Maintenant.} & 3 & 4 & 5 & 6 \\
      \end{array}
      \]

    • Un nombre entier peut être exprimé sous forme décimale comme suit : \( 12 = 12,0 \) ou \( 12,00 \) ou \( 12,000 \), et ainsi de suite.

      ### 2. Soustraction
      Pour soustraire un nombre décimal d'un autre, nous suivons les étapes suivantes.

      **Étape 1 :** Convertir les décimaux en décimaux semblables.

      **Étape 2 :** Aligner les virgules.

      **Étape 3 :** Soustraire à chaque position de valeur.

      **Étape 4 :** Réorganiser si nécessaire.

      **Exemple 6 :** Soustraire 6,253 de 16,67.

      1. Convertir en décimaux semblables : \( 16,67 \rightarrow 16,670 \), \( 6,253 \) et aligner les virgules.
      2. Soustraire les millièmes.  
         Vous ne pouvez pas soustraire 3 millièmes de 0 millième, donc empruntez 1 centième à 7 centièmes, laissant 6 centièmes.  
         1 centième = 10 millièmes  
         0 millième \(\rightarrow\) 10 millièmes  
         Maintenant, soustrayez les millièmes : \( 10 - 3 = 7 \) millièmes.
      3. Soustraire les centièmes.  
         \( 6 - 5 = 1 \) centième  
      4. Soustraire les dixièmes.  
         \( 6 - 2 = 4 \) dixièmes  
      5. Soustraire les unités.  
         \( 6 - 6 = 0 \) unité  
      6. Soustraire les dizaines.  
         \( 1 - 0 = 1 \) dizaine  

      \[
      \begin{array}{cccc}
      1 & 6 & , & 6 & \overline{Y} & \beta \\
      - & 6 & , & 2 & 5 & 3 \\
      1 & 0 & 4 & 1 & 7 \\
      \end{array}
      \]

      Ainsi, \( 16,67 - 6,253 = 10,417 \).

      **Exemple 7 :** Trouver \( 312,8 - 59,98 \).

      \section{Multiplication des décimaux}

      ### 1. Multiplication par 10, 100, 1000
      Observez les exemples suivants :

      \[
      0,5 \times 10 = \frac{5}{10} \times 10 = 5
      \]

      \[
      \begin{array}{|c|c|c|}
      \hline
      \text{Unités} & \text{Dixièmes} & \\
      \hline
      -5 & \times 10 & \\
      \hline
      5 & & \\
      \hline
      \end{array}
      \]

      5 dixièmes \(\times 10 = 5\) unités  
      \(0,5 \times 10 = 5\)  

      \[
      \begin{array}{|c|c|c|}
      \hline
      2,7 \times 10 = \frac{27}{10} \times 10 = 27 \\
      \hline
      \text{Dizaines} & \text{Unités} & \text{Dixièmes} \\
      \hline
      -2 & -7 & \times 10 \\
      \hline
      2 & 7 & \\
      \hline
      \end{array}
      \]

      2 unités 7 dixièmes \(\times 10 = 2\) dizaines 7 unités  
      \(2,7 \times 10 = 27\)  

      Nous observons que :  
      Multiplier un décimal par 10 déplace la virgule d'une place vers la droite.

  • New section

    • Multiplication des décimaux}

      ### Exemple 9 : Multiplier 6,095 par 45.

      \[
      \begin{array}{ccc}
      6 & , & 0 & 9 & 5 \\
      \times & \quad & 4 & 5 & \longleftarrow \\
      3 & 0 & 4 & 7 & 5 \\
      2 & 4 & 3 & 8 & 0 \\
      \end{array}
      \]

      \[
      \begin{array}{ccc}
      3 & \text{décimales} & \\
      0 & \text{décimales} & \\
      \end{array}
      \]

      \[
      \begin{array}{ccc}
      2 & 7 & 4,2 & 7 & 5 \\
      \longleftarrow & 3 & \text{décimales} \\
      3 + 0 \\
      \end{array}
      \]

      ### 3. Multiplication d'un nombre décimal par un autre nombre décimal
      Trouvons le produit de \(12,7\) et \(0,4\).

      \[
      12,7 \times 0,4 = \frac{127}{10} \times \frac{4}{10} = \frac{127 \times 4}{100} = \frac{508}{100} = 5,08
      \]

      Ce calcul peut également être présenté comme suit :

      \[
      \begin{array}{ccc}
      1 & 2 & 7 \\
      \times & 4 & \longrightarrow \\
      5 & 0 & 8 \\
      \end{array}
      \]

      Multipliez comme vous le feriez pour des nombres entiers.

      \[
      \begin{array}{ccc}
      1 & 2 & , & 7 \\
      \times & 0 & , & 4 \\
      5,0 & 8 & \longleftarrow \\
      \end{array}
      \]

      \[
      \begin{array}{ccc}
      1 & \text{décimale} & \\
      1 & \text{décimale} & \\
      2 & \text{décimales} & \\
      1 + 1 \\
      \end{array}
      \]

      Le nombre total de décimales dans le produit est égal à la somme des décimales des facteurs.

      ### Exemple 10 : Multiplier :
      (a) \(0,8 \times 0,3\)  
      (b) \(0,007 \times 0,03\)  
      (c) \(0,009 \times 1,2\)

    • \section{Multiplication des décimaux}

      ### Exemple 10 : Multiplier :

      (a)  
      \[ 0,8 \times 0,3 = 0,24 \]  
      1 décimale 1 décimale 2 décimales  

      Multiplier mentalement  
      \[ 8 \times 3 = 24 \]  

      (b)  
      \[ 0,007 \times 0,03 = 0,00021 \]  
      3 décimales 2 décimales 5 décimales  

      \[ 7 \times 3 = 21 \]  
      Le produit a 5 décimales, donc ajoutez 3 zéros à gauche du produit.  

      (c)  
      \[ 0,009 \times 1,2 = 0,0108 \]  
      3 décimales 1 décimale 4 décimales  

      \[ 9 \times 12 = 108 \]  
      Le produit a 4 décimales, donc ajoutez 1 zéro à gauche du produit.  

      ### Exemple 11 : Multiplier 23,02 par 0,12.  

      \[ 2 \times 3 \cdot 0,2 \xrightarrow{4} 2 \text{ décimales} \]  
      \[ \times 0,1 \cdot 2 \xrightarrow{4} 2 \text{ décimales} \]  
      \[ 4 \cdot 6 \cdot 0,4 \]  
      \[ + 2 \cdot 3 \cdot 0,2 \]  
      \[ 2,7 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 4 \xrightarrow{4} 4 \text{ décimales} \]  
      \[ 2 + 2 \]

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