Addition et soustraction de décimaux

### 1. Addition
Pour additionner deux ou plusieurs décimaux, nous suivons ces étapes.

**Étape 1 :** Convertir les décimaux en décimaux semblables.

**Étape 2 :** Aligner les virgules, c'est-à-dire placer les nombres les uns sous les autres de manière à ce que les chiffres des dizaines soient alignés, les unités sous les unités, les virgules sous les virgules, les dixièmes sous les dixièmes, et ainsi de suite.

**Étape 3 :** Additionner comme pour les nombres entiers. Faire les retenues si nécessaire.

**Étape 4 :** Placer la virgule dans la somme directement sous la virgule des nombres additionnés.

**Exemple 4 :** Additionner : 4,83 ; 312,9 et 23,031.

D'abord, nous convertissons les nombres à additionner en décimaux semblables.

Nous avons : \( 4,83 \rightarrow 4,830 \), \( 312,9 \rightarrow 312,900 \), \( 23,031 \).

Maintenant, alignons les décimaux et additionnons.

\[
\begin{array}{cccc}
\text{Additionner les millièmes.} & 0 + 0 + 1 = 1 & \text{millième} \\
\text{Additionner les centièmes.} & 3 + 0 + 3 = 6 & \text{centièmes} \\
\text{Additionner les dixièmes.} & 8 + 9 + 0 = 17 & \text{dixièmes} \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccc}
\text{Écrire 7 à la place des dixièmes.} & \text{Retenir 1 à la place des unités.} \\
\text{Additionner les unités.} & 1 + 4 + 2 + 3 = 10 & \text{unités} \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccc}
\text{Écrire 0 à la place des unités.} & \text{Retenir 1 à la place des dizaines.} \\
\text{Additionner les dizaines.} & 1 + 1 + 2 = 4 & \text{dizaines} \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccc}
\text{Additionner les centaines.} & 0 + 3 + 0 = 3 & \text{centaines} \\
\end{array}
\]

---

**Exemple 5 :** Additionner : 6,9 ; 3,405 et 9,46.

D'abord, nous convertissons les nombres à additionner en décimaux semblables.

Conversion en décimaux semblables : \( 6,9 \rightarrow 6,900 \), \( 3,405 \), \( 9,46 \rightarrow 9,460 \).

Maintenant, alignons les décimaux et additionnons.

\[
\begin{array}{cccc}
\text{Maintenant.} & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccc}
\text{Maintenant.} & 2 & 4 & 5 & 6 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccc}
\text{Maintenant.} & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\end{array}
\]

Un nombre entier peut être exprimé sous forme décimale comme suit : \( 12 = 12,0 \) ou \( 12,00 \) ou \( 12,000 \), et ainsi de suite.

### 2. Soustraction
Pour soustraire un nombre décimal d'un autre, nous suivons les étapes suivantes.

**Étape 1 :** Convertir les décimaux en décimaux semblables.

**Étape 2 :** Aligner les virgules.

**Étape 3 :** Soustraire à chaque position de valeur.

**Étape 4 :** Réorganiser si nécessaire.

**Exemple 6 :** Soustraire 6,253 de 16,67.

1. Convertir en décimaux semblables : \( 16,67 \rightarrow 16,670 \), \( 6,253 \) et aligner les virgules.
2. Soustraire les millièmes.  
   Vous ne pouvez pas soustraire 3 millièmes de 0 millième, donc empruntez 1 centième à 7 centièmes, laissant 6 centièmes.  
   1 centième = 10 millièmes  
   0 millième \(\rightarrow\) 10 millièmes  
   Maintenant, soustrayez les millièmes : \( 10 - 3 = 7 \) millièmes.
3. Soustraire les centièmes.  
   \( 6 - 5 = 1 \) centième  
4. Soustraire les dixièmes.  
   \( 6 - 2 = 4 \) dixièmes  
5. Soustraire les unités.  
   \( 6 - 6 = 0 \) unité  
6. Soustraire les dizaines.  
   \( 1 - 0 = 1 \) dizaine  

\[
\begin{array}{cccc}
1 & 6 & , & 6 & \overline{Y} & \beta \\
- & 6 & , & 2 & 5 & 3 \\
1 & 0 & 4 & 1 & 7 \\
\end{array}
\]

Ainsi, \( 16,67 - 6,253 = 10,417 \).

**Exemple 7 :** Trouver \( 312,8 - 59,98 \).

\section{Multiplication des décimaux}

### 1. Multiplication par 10, 100, 1000
Observez les exemples suivants :

\[
0,5 \times 10 = \frac{5}{10} \times 10 = 5
\]

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Unités} & \text{Dixièmes} & \\
\hline
-5 & \times 10 & \\
\hline
5 & & \\
\hline
\end{array}
\]

5 dixièmes \(\times 10 = 5\) unités  
\(0,5 \times 10 = 5\)  

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
2,7 \times 10 = \frac{27}{10} \times 10 = 27 \\
\hline
\text{Dizaines} & \text{Unités} & \text{Dixièmes} \\
\hline
-2 & -7 & \times 10 \\
\hline
2 & 7 & \\
\hline
\end{array}
\]

2 unités 7 dixièmes \(\times 10 = 2\) dizaines 7 unités  
\(2,7 \times 10 = 27\)  

Nous observons que :  
Multiplier un décimal par 10 déplace la virgule d'une place vers la droite.